Barycentre - 1ère S

[Pythaa]

Bonjour, j'aimerai avoir une explication et de l'aide pour comprendre cet exercice :

On donne un triangle ABC isocèle et rectangle en A tel que AB=4.

1) Construisez G le barycentre de (A;2) (B;1) (C;1).
AG = 1/4 AB + 1/4 de AC

2) Calculez les longueurs GA; GB et GC.
Je ne vois pas comment faire.

3) Pour tout point M du plan on définit f(M) par f(M) = 2 MA² + MB² + MC².
Montrez que f(M) peut s'exprimer en fonction de MG uniquement.

4) Déduisez-en l'ensemble des points M du plan qui vérifient f(M) = 32
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[magicienbang]

salut,
alors, pour le 2) :
pour trouver GA, cela est relativement simple :
tu sait que GA = 1/4 AB + 1/4 BC
ABC isocele en A te que AB=4

donc : AB = AC = 4 ( puisque c'est isocèle)

or AG = 1/4 AB + 1/4 AC
= 1 + 1
= 2

et pour les deux autre, utilise la relation de Chasles, puis tu pourra faire de même si tu vois ce que je veux dire
pour le 3) et le je suis en train d'y reflechir, mais en connaissant les formules de base du barycentre, c'est asser simple

[Pythaa]

Je comprends ce que tu as fais pour calculer GA.
Mais pour calculer GB ou GC, je vois pas comment utiliser Chasles

[magicienbang]

pour faire court, introduit B dans ton équation avec chasles, developpe et tu pourras utiliser les valeurs que tu connais pour trouver GB, fait de même pour GC ca te donne pour GB :
GB + BA = 1/4 AB + 1/4 BB + 1/4 AB + 1/4 AC ...
tu comprend mieux ? ^^

[A voir en vidéo sur Futura]

[Pythaa]

Ah, ok, merci, je comprends mieux ^^

Donc pour BG et pour CG, j'ai trouvé 6, si j'ai bien compris

[invitebf083768]

Ensuite pour le 3) il faut que tu repasses en vecteurs ton égalité puis que tu introduise dans chacune des expressions le point G :

tu te retrouve avec


F(M) = MG² ( 2+1+1) 2GA²+GB²+GC²

Pour le 4) tu prends la nouvelle expressions tu as GA / GB / GC tu remplaces et tu devrais trouver un cercle de centre G et re rayon
racine ( 32 − 2GA²-GB²-GC²)

à verfier

@+

[Pythaa]

Pour le 3) Je comprends pas pourquoi tu trouves :
F(M) = MG² ( 2+1+1) 2GA²+GB²+GC²

[invitebf083768]

Il faut que tu raisonnes avec le produit scalaire :
Au lieu de poser MA^2 tu poses (vecteur MA)^2
or

vecteur MA = Vecteur MG + Vecteur GA

D'ou (Vecteur MA)^2=(Vecteur MG + Vecteur GA
)^2

tu fais pareille avec MB et MC et n'oublie pas le 2 devant MA^2.

Après tu as tes identités remarquables du produit scalaire.
Tu developes et tu tombes sur une formule connu :

G = Bar {(A,a),(B,b),(C'c)} et qu'a un point du plan , M , on associe le reel F(M) par une application F (c'est un genre de fonction mais tu t'en fous) et que

F(M) = aMA^2 + bMB^2 + cMC^2 peut s'écrire :

F(M) = (a+b+c)MG^2 + aGA^2 + bGB^2 + cGC^2

voilà

Mais refais le developement pour t'en assurer .

PS : si tu n'as pas vu le produit scalaire je vois pas comment tu peux faire à part de cette manière là
@+