Petite question de trigonométrie: cos(x)=x

[invite2b14cd41]

Salut, je n'arrive pas à trouver les solutions de cette équation:
cos(x)=x
J'ai tenter pas mal de choses : Dériver membre à membre (bien sur ce n'est pas très "valable" comme méthode étant donné que la dérivation donne une implication et non une équivalence), bidouiller l'équation avec les formules d'Euler (j'obtiens quelque chose d'horrible avec les nombres complexes), utiliser les fonctions réciproques arccos/arcsin , etc ... sans succès
Comment peut-on trouver les 2 valeurs exactes de x qui vérifient l'égalité cos(x)=x ???
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[invite5150dbce]

Je pense qu'on ne peut pas mais par contre avec le théorème de la bijection tu peux démontrer qu'il existe deux solution avec la fonction x |-->cos(x)-x

[invite2b14cd41]

Désolé, il n'y a qu'une seule valeur possible pour x (encore une fois je suis aller un peu trop vite)

[invite25cbd5d2]

A-t-on le droit de dériver ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite5150dbce]

Désolé, il n'y a qu'une seule valeur possible pour x (encore une fois je suis aller un peu trop vite)

oui peut-être, je n'ai pas regardé en détail.

[invite5150dbce]

A-t-on le droit de dériver ?

Absolument pas
cosx=x <=>cosx-x=0
soit f : x |-->cosx-x
Est-ce que f(x)=0 ==> f'(x)=0 ? Non
Est-ce que f'(x)=0 ==> f(x)=0 ? Non

[invite2b14cd41]

Absolument pas
cosx=x <=>cosx-x=0
soit f : x |-->cosx-x
Est-ce que f(x)=0 ==> f'(x)=0 ? Non
Est-ce que f'(x)=0 ==> f(x)=0 ? Non

:O , mais que fait-on alors en physique cette année pour résoudre des équations intégro-différentielle ???

[invite2b14cd41]

En fait , nous dérivons bel et bien membre à membre lorsque l'on souhaite établir l'équation différentielle régissant l'élongation x d'un ressort en fonction du temps, par la méthode énergétique:
Soit un ressort sur un plan horizontal qui oscille librement et sans force résistante, au bout duquel on attache une masse m. Son énergie mécanique Em est alors conservée.
Or : Em = Ec+ Epp ; et comme on choisit le plan sur lequel se déplace le CIG de la masse comme plan de référence , donc Epp=Epp(ressort) en J.
=> Em=Ec=1/2*m*v²+1/2*k*x^[2
Puisque Em est constante, en dérivant membre à membre , on obtient:
dEm/dt=dEc/dt <=> 0=m*v*v'+k*x*x'
Or x' n'est autre que la vitesse v, et v' et l'accélération x'', d'ou:
x'(m*x''+k*x)=0
Puisque x' n'est pas nul quelque soit le temps t :
x''+(k/m)*x=0

Cette méthode est correcte, puisqu'on retrouve effectivement la même équation par la méthode de la 2eme loi de Newton.
Et pourtant, on a bien dérivé membre à membre !!

[invite5150dbce]

Ne pas confondre physique et mathématique, c'est totalement différent. En physique tu ne sais pas ce que tu fais la preuve. Au lieu de donner un exemple, prouve ce que tu dis, en le démontrant, tu t'apercevras de la grossière, de l'énorme erreure commise.

[invite2b14cd41]

Ne pas confondre physique et mathématique, c'est totalement différent. En physique tu ne sais pas ce que tu fais la preuve. Au lieu de donner un exemple, prouve ce que tu dis, en le démontrant, tu t'apercevras de la grossière, de l'énorme erreure commise.

Je pense avoir deviner . Est-ce parce que x est une fonction du temps dans mon cas, alors que dans l'exemple mathématique il s'agit de la variable par rapport à laquelle nous avons dérivé ?

[invite5150dbce]

Résoudre une équation différentielle, équivaut à rechercher l'ensemble des fonctions qui vérifient une équation

Or si deux fonctions sont égales (en tout point) alors leurs dérivées sont égales (en tout point)

Cela explique que tu peux procéder ainsi dans une équation différentielle


Le problème c'est que ton équation n'est pas une équation différentielle. On ne cherche pas une fonction mais une intersection. Les deux fonctions ne sont pas égales en tout point. Tu peux te réferer plus haut cela te prouve le contraire. Si tu veux je peux te donner un exemple (cela s'appelle un contre exemple).

On suppose qu'on puisse appliquer ta méthode
Résolvons l'équation x=-x dans IR
On raisonne par l'absurde et on suppose que ton équation a une solution
Alors 1=-1, ce qui est absurde
Donc l'équation x=-x n'a pas de solution dans IR
Ta méthode est donc complétement débile excuse moi du therme

[invite5150dbce]

Je pense avoir deviner . Est-ce parce que x est une fonction du temps dans mon cas, alors que dans l'exemple mathématique il s'agit de la variable par rapport à laquelle nous avons dérivé ?

Même si ton équation différentielle aurait été par exemple f'(x)+x=f(x), tu aurais eu le droit de dériver car tu as une égalité de fonctions pour tout x réel

Alors que dans une équation ordinaire l'égalité n'est pas pour tout x

[invite2b14cd41]

Même si ton équation différentielle aurait été par exemple f'(x)+x=f(x), tu aurais eu le droit de dériver car tu as une égalité de fonctions pour tout x réel

Alors que dans une équation ordinaire l'égalité n'est pas pour tout x

Conclusion :
On peut dériver membre à membre quand on a des fonctions égales en tout point; c'est bien ce que je m'étais dit en analysant mon exemple tiré de la physique plus profondémment .
Merci ,
mais ce n'est pas tout , et ma question originale ?
Etes-vous sur qu'il n'y a aucune méthode ? Cela parait bien étrange ...

[invite5150dbce]

tu peux aller voir ici mais bon tu n'auras qu'une approximation
http://forums.futura-sciences.com/ma...7-x-cos-x.html

[invite5150dbce]

On peut surement montrer que la seule solution de cette équation est un nombre transcendant

[invite2b14cd41]

tu peux aller voir ici mais bon tu n'auras qu'une approximation
http://forums.futura-sciences.com/ma...7-x-cos-x.html

AHA ! Le développement limité permet de trouver une solution approchée
Je me demande alors quel est le principe du développement limité ?
Et j'aimerai bien connaitre la méthode à utiliser pour montrer qu'il s'agit d'un nombre transcendant (cela semble compliqué, étant donné qu'on a mis quelques millénaires pour prouver celle de pi )
En tout cas, merci bien hhh86

[invite9a322bed]

Bonsoir,

En prépas, avec notre prof, on fait des solutions graphique....c'est à dire on trace approximativement les deux graphes y=x et y'=cos(x), et on regarde les points d'intersections....