suites numériques

[invite086e3b29]

Bonjour je voudrais savoir quel type de suite est :Rn+1 = 0.05Rn +100
Merci
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[invite9deac964]

arithmico-géométrique

[invite086e3b29]

Merci et comment calculer Rn ?

[invite086e3b29]

Comment calculer le terme général d'une suite arithméco-geométrique

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite5150dbce]

Soit (Vn) n€IN la suite définie par Vn=Rn+k, k appartenant à IR
On cherche le réel k tel que (Vn) soit une suite géométrique
Or Vn+1=Rn+1+k=0.05Rn+100+k=0.05( Vn-k)+100+k=0,05Vn+100+0.95k pour tout n appartenant à IN
Vn est géométrique si et seulement si 100+0.95k=0 <=>k=-2000/19
(Vn) est donc la suite géométrique de raison 0,05 et de premier terme V0=R0-2000/19 donc pour tout n appartenant à IN, Vn=V0x0,05ⁿ
<=>Rn-2000/19=(R0-2000/19)x0,05ⁿ
<=>Rn=2000/19+(R0-2000/19)x0,05ⁿ

[invite086e3b29]

Merci beaucoup, et comment démontrer que le terme général d'une suite géométrique c'est Tn = To + q puissance n

[invite5150dbce]

?? c'est faux

Le terme général de la suite de premier terme U0 et de raison q est : Un=U0xq^n

ça se démontre facilement par récurrence

[invite086e3b29]

Comment se fait la démonstration ?

[invite5150dbce]

mmmmmhhhhhh

Soit (U_n) la suite définie par récurrence par :
U₀=a avec a réel
Pour tout n appartenant à IN, U_n+1=qxU_n avec q réel

Montrons par récurrence que pour tout n appartenant à IN, Un=U0xqⁿ :

Initialisation :
Vérifions cette propriété pour n=0 :
U0xq⁰=U₀
La propriété est donc vraie au rang 0

Caractère héréditaire :
Supposons que Uk=U0xq^k avec k appartenant à IN
U_k+1=qxU_k
Or d'après l'hypothèse de récurrence Uk=U0xq^k donc U_k+1=qxU₀xq^k=U₀xq^k+1
La propriété est donc vraie au rang k+1

Conclusion :
Pour tout n appartenant à IN, Un=U0xqⁿ

[invitec540ebb9]

jolie démo certes basique mais bien ecrite ^^

[invite5150dbce]

merci zanz