fonction ln

[invite3bae1f45]

bonjour a tous,
mon professeur de mathématique ma donné quelque exercices a résoudre, mais seulement je rencontre quelque difficultés et votre aide me serait précieuse.
voici l'énoncé:
A)1)étudier le sens de variation de la fonction g définie sur R par g(t)=(e^t)-t-1, quel est le minimum de g sur R?
2)en déduire les inégalités suivantes:
a)pour tout réel t, e^t>t+1, e^t>t et -te^-t>-1
b)pour tout reel t tel que t>-1, ln(1+t)<ou = t
3)en déduire que pour tout réel x, ln(1-xe^-x)<-xe^-x

voila ce que j'ai su faire:
pour étudier le sens de variation de g je commence par effectuer son tableau de signe donc par calculer sa dérivée voila ce que j'obtient:
g'(t)=e^t-1
j'obtient donc un signe positif sur ]0;+infini[ car exp est stricetement croissante sur cet intervalle. donc la fonction g(t) est strictement croissante sur R. est-ce correct? et comment je peut faire pour trouver le minimum de g sur R?
merci par avance
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[invite3bae1f45]

et pour la question 2 ces inégalités me parraisse logique mais comment les démontrer?

[invitec540ebb9]

pour la 2) je dirai exponentielle est convexe(derivée seconde positive) donc au dessus de toutes ses tangentes... Calcule la tangente en 0 et t'as ta solution

[invite51d17075]

voila ce que j'ai su faire:
pour étudier le sens de variation de g je commence par effectuer son tableau de signe donc par calculer sa dérivée voila ce que j'obtient:
g'(t)=e^t-1
j'obtient donc un signe positif sur ]0;+infini[ car exp est stricetement croissante sur cet intervalle. donc la fonction g(t) est strictement croissante sur R. est-ce correct? et comment je peut faire pour trouver le minimum de g sur R?
merci par avance

non, ce n'est pas le bon argument, et c'est faux sur (-inf, 0)
c'est parceque sur (0,+inf ) e^t > 1 donc
g'(t) > 0 alors g(t) est stritement croissante.
( si par exemple tu avais obtenu g'(t) = e^t-2 , tu aurrais eu une autre variation de g(t) )

pour la variation sur (-inf,0) il faut étudier g'(t) sur cet intervalle.

la question 2a) est une deduction directe de la première question

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite3bae1f45]

non, ce n'est pas le bon argument, et c'est faux sur (-inf, 0)
c'est parceque sur (0,+inf ) e^t > 1 donc
g'(t) > 0 alors g(t) est stritement croissante.
( si par exemple tu avais obtenu g'(t) = e^t-2 , tu aurrais eu une autre variation de g(t) )

pour la variation sur (-inf,0) il faut étudier g'(t) sur cet intervalle.

la question 2a) est une deduction directe de la première question

ah d'accord merci beaucoup pour ton aide! donc pour la question 2 est t'il suffisant que j'écrive: (e^t)-t-1>0 <->e^t>t+1, e^t>t <=>e^t-t-1>0<=>e^t-1>t<=> e^t>t et enfin -te^-t>-1<=>e^-t>-1/t<=>e^t>t

[invite51d17075]

ah d'accord merci beaucoup pour ton aide! donc pour la question 2 est t'il suffisant que j'écrive: (e^t)-t-1>0 <->e^t>t+1, e^t>t <=>e^t-t-1>0<=>e^t-1>t<=> e^t>t et enfin -te^-t>-1<=>e^-t>-1/t<=>e^t>t

comment as-tu deduis que e^t-t-1 > 0 sur R, et pas uniquement sur R+
as-tu fais la variation de la fonction quand t<0 ?

plus précisement quelle sont les variations de g ?? et que vaut g(0) ?

[invite3bae1f45]

le fait d'écrire e^t-t-1>0 est une facon de resoudre cette inéquation,
g(0)=0
et pour les variations de g elle sont croissante sur 0;+inf et également croissante sur -inf;0 non?

[invite51d17075]

le fait d'écrire e^t-t-1>0 est une facon de resoudre cette inéquation,
g(0)=0
et pour les variations de g elle sont croissante sur 0;+inf et également croissante sur -inf;0 non?

non decroissante sur (-inf, 0), à toi de le trouver
c'est pour ça que g(0) est un minimum.
et comme g(0) = 0 alors g est tout le temps >=0

sinon g(t) serait <0 si t<0 et ton inéquation ne marcherait pas !!

[invite3bae1f45]

non decroissante sur (-inf, 0), à toi de le trouver
c'est pour ça que g(0) est un minimum.
et comme g(0) = 0 alors g est tout le temps >=0

sinon g(t) serait <0 si t<0 et ton inéquation ne marcherait pas !!

dac merci beaucoup, pour mes inégalités est il incorrect de metrre qu'elles sont plus grande que 0 afin de les résoudres?

[invite51d17075]

dac merci beaucoup, pour mes inégalités est il incorrect de metrre qu'elles sont plus grande que 0 afin de les résoudres?

non bien sur, c'était la bonne écriture, mais tu n'avais pas prouvé que g(t) était positif ou nul tout le temps.

[invite3bae1f45]

ok, et pour la question 3 comment est-ce que je peut resoudre cette inéquation, enfin surtout comment la déduire du reste?

[invite51d17075]

il faut peut être finir 2a) et 2b) car les questions se suivent......

A+

[invite3bae1f45]

oui, mais par exemple dans la question 2bpour tout reel t tel que t >-1 donc 0 par exemple. dans ce cas j'applique et j'ai: ln(1+0)<=0, ici sa fonctionne mais est-ce que ce raisonnement convient comme réponse?

[invite51d17075]

2)en déduire les inégalités suivantes:
a)pour tout réel t, e^t>t+1, e^t>t et -te^-t>-1
b)pour tout reel t tel que t>-1, ln(1+t)<ou = t

nan ça suffit pas , il faut montrer pour tout t

bon si e^t>t+1 alors comme t+1>t ?!
pour la dernière
-te^-t>-1 <=> te^-t <1 et comme e^x tj positif tu mpeux multiplier les deux membres par e^-t