Dérivation

[mj4]

Bonjour, j'ai un exercice que je ne parviens pas à résoudre, pourriz vous m'aider, voici l'énoncé:

ABCD est un rectangle tel que AB=2 et AD=4
soit L un point qui se déplace sur le segment CD on pose DL = k
On appelle I le point d'intersection des droites AL et DB, et on note S(k) la somme des aires des triangles ABI et DIL. L'objectif est de détermier pour quelles valeurs de k cette aire est minimale.
Pour cela on considère le repère (A; i ; j ) du plan telque le vecteur AD = 4i
le vecteur AB = 2j

1) Faire une figure , donc je n'ai pas de difficultées

2) a. Déterminer les coordonnées des points A, B , L, D dans le repère.
J'obtiens mais je ne sais pas comment justifier:
A(0;0) / D(4;0) / B(0;2) / C(4;2) / L(4;k)

b. Déterminer les équations réduites des droites AL et DB dans le repère.
J'obtiens, mais je ne sais pas non plus comment le justifer:
(AM): (k/4)x - y = 0
(DB): -(1/2)x + 2 - y = 0

c.En déduire les coordonnées de I dans le repère.
Ma réponse: les coordonnées des points d'intersections vérifient l'équation:

(1/2)x + 2 - y = 0 x= 8/ (2+k) x= 8/ (2+k)
k/4)x - y = 0 y= k/4 * x y= 2k / (2+k)

Donc I a pour coordonnée( 8/(2+k) ; 2k/(2+k) )

3) a. Déterminer l'expression des aires des triangles ABI et DIL en fonction de k, puis l'expression des S(k), pour k=0 , pour k=2, puis pour k appartenant à ]0;1[ .

b. Montrer que la fonction S admet un minimum sur l'intervalle ]0;2[.

4) Conclure

Merci d'avance
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[mj4]

Pour la 2)c. ma réponse est

(1/2)x + 2 - y = 0 ---------> x= 8/ (2+k)----------> x= 8/ (2+k)
k/4)x - y = 0 ----------> y= k/4 * x -----------> y= 2k / (2+k)

[mj4]

J'ai réussis à faire le 3)a.:

Je détermine l'expression des aires de ABI et DIM en fonction de m:

ABI = AB * AI' / 2 = 2 * (8/2+m) / 2 = 8 / 2+m l'unité est bien le cm carré

DIM = Dm * DI' / 2 = m * (4- 8/2+m) / 2 = 4m carré / 4+2m

Ensuite celle de S(m) :

S(m) = 8/2+m + 4mcarré/4+2m = 8+2mcarré / 2+m

J'en déduis S(0)et S(2) :

S(0)= 4
S(2)= 4

J'exprime maintenant S pour m appartenant à ]0;1[ :

pour cela j'ai fais un tableau de variation et j'ai calculé la dérivée:

S'(m) = 2mcarré +8m -8 / (2+m) carré

(2+m) carré est toujours supérieur ou égal à 0 , -2 est la valeur interdite
je recherche donc les racine de 2mcarré +8m -8 en calculant delta = 128

x1 = -8 - racine de 128 / 4
x2 = -8 + racine de 128 / 4

je fais mon tableau et j'obtiens S:
- croissante sur ]-infini ; x1 [
- décroissant sur ]x1 ; -2[ et sur ]-2 ; x2[
- croissante sur ]x2; +infini[


Mais je ne sais pascomment faire pour préciser sur l'intervalle ]0;1[ ?
De même pour la 3)b démontrer que la fonction S admet un minimum sur l'intervalle ]0;2[.

[mj4]

Quelqu'un pourrez m'aider s'il vous plait ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Paminode]

DIM = Dm * DI' / 2 = m * (4- 8/2+m) / 2 = 4m carré / 4+2m

Cela se simplifie en
DIL = 2k²/k+2
Attention : vous êtes passé de DIL à DIM et de k à m...

Paminode