encadrement de sin x et de cos x pour x>(egale)0

[invite429b441b]

Bonjour a tous,
Je suis bloqué dans mon dm de maths a la question 2) A l'aide de la fonction x->(tend)1-(x^2/2)- cos x, monter de meme que, pour x >(egale) 0, on a: 1-(x^2/2) <(egale) cos x

Pour vous aidé la question précédente était : 1)soit f(x)= sinx-x définis sur [0;+infini[
a) Etudier le sens de variations de f donc j ai trouvé que elle est strictement décroissante sur cette intervalle
b) Calculer f(0). Comparer alors sinx et x sur [0;+INFINI[. J ai trouvé que sinx = x

Doncv si quelqu'un peut m'aider pour la question deux sa serait sympa. Merci
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[Jeanpaul]

Eh bien, tu étudies la fonction cos(x) - [1 - x²/2] avec la dérivée et tout le fourbi et pour le signe de la dérivée, tu te sers de la première question.

[ansset]

b) Calculer f(0). Comparer alors sinx et x sur [0;+INFINI[. J ai trouvé que sinx = x

ha bon ??????

[invite429b441b]

Oui sinx = x si f(0)
Car sin 0 = 0
est 0 = 0
donc je peut en conclure que sin x = x sur l'intervalle [0; +infini[

[A voir en vidéo sur Futura]

[ansset]

Oui sinx = x si f(0)
Car sin 0 = 0
est 0 = 0
donc je peut en conclure que sin x = x sur l'intervalle [0; +infini[

j'hallucine !!

sur la question a) tu as vu que f(x) = sin(x)-x était strictement "décroissante".

[invite429b441b]

Pour la réponse de Jeanpaul oui je sais que je dois étudier la dérivé mais je ne vois pas comment je suis bloqué je cherche la dérivé de f(x)=1-(x^2/2)- cos x cela fait f'(x)=x +sin x. Mais dés que l'on fait le tablo de signe on voit que la courbe est strictement montante car on trouve sur le tablo de signe pour x la racine est 0 et pour sin x je dirai 0 mais j en suis pas sur (je par sur le meme résonement que pour
sinx = 0 donc sin 0 = 0) mais je ne voit pas comment faire car la courbe elle doit etre montante jusqu'a 0 puis descend et de plus je ne comprend pas la question

[invite429b441b]

j'hallucine !!

sur la question a) tu as vu que f(x) = sin(x)-x était strictement "décroissante".

Oui. Si tu vois une erreur fais moi en par. Stp j en chie pour faire se Dm

[ansset]

Pour la réponse de Jeanpaul oui je sais que je dois étudier la dérivé mais je ne vois pas comment je suis bloqué je cherche la dérivé de f(x)=1-(x^2/2)- cos x cela fait f'(x)=x +sin x.

il y a une petite faute de signe.
la dérivée de -(x^2/2) ne vaut pas x mais -x donc
f'(x) = -x + sin(x) et est donc toujours négative.

pour la remarque d'avant :
ce n'est pas parceque f(0)=0 que f(x) =0 sur tout l'intervalle.
sauf si f'(x) était nulle, ce n'est pas le cas.

et enfin pourquoi aurait-on inventé une fonction sin(x) qui vaudrait x.
c'est quoi un sin(x) ????
j'ai rarement lu un truc aussi grave !

[invite429b441b]

donc en refaisant le tablo de signe la fonction est négative sé sa

[ansset]

donc en refaisant le tablo de signe la fonction est négative sé sa

oui, mais il faut le dire un peu autrement.
comme la dérivée est négative , alors la fonction est decroissante.
hors f(0)=0 donc f(x) <= 0 quel que soit x.

[invite429b441b]

Donc pour dire que 1-(x^2/2)<=sin x il suffit de dire sa.

[ansset]

Donc pour dire que 1-(x^2/2)<=sin x il suffit de dire sa.

je crois que tu melanges les 2 fonctions à étudier !!
l'une en cos(x) et l'autre en sin(x)

[invite429b441b]

oui excuse sé 1-(x^2/2)<=cos x je me suis trompé car plus bas il me demande la meme question avec x- (x^3/6)<= sinx
Mais il suffit de dire se ke tu vient de direplus pour le démonter. Si c'est le cas je comprend pas

[ansset]

oui excuse sé 1-(x^2/2)<=cos x je me suis trompé car plus bas il me demande la meme question avec x- (x^3/6)<= sinx
Mais il suffit de dire se ke tu vient de direplus pour le démonter. Si c'est le cas je comprend pas

oui ça suffit..
dans les 2 cas, tu as la variation de la fonction et sa valeur en x=0.
donc tu en deduis l'inégalité cherchée.
tout va bien !

[invite429b441b]

Non j ai rien compris je ne vois pas comment avec un tablo de variation on arrive a obtenir: 1-(x^2/2)<=cos x

[ansset]

Non j ai rien compris je ne vois pas comment avec un tablo de variation on arrive a obtenir: 1-(x^2/2)<=cos x

bon, on reprend au debut :
f(x) = 1-(x^2/2)-cos(x)

tu as vu que f'(x) = sin(x)-x
tu as vu aussi donc que f'(x) <=0 car sin(x) est tj inf à x
donc f est decroissante ,
hors f(0) = 0
donc quel que soit x, f(x) <=0
donc
1-(x^2/2) -cos(x) <=0
donc
1-(x^2/2) <= cos(x)

[invite429b441b]

okay je croi que j ai compris de toute facon y a l'autre fonction je fais voir si je me débrouille avec.

[invite429b441b]

Vous aller peut-etre me prendre pour un con mais je viens de comprendre que dans l'ennoncé au départ on nous donne f(x)=sin x-x en fait la dérivé de f(x)=1-(x^2/2)-cos x et f'(x)=sin x -x de plus que pour f(x)=x-(x^3/6)- sin x et sa dérivé f'(x)= 1-(x^2/2)-cos x donc effectivement sa aide bcp mais j arrive pas a comprendre la question: montrer de meme que pour x>=0 on a les deux fonctions ( pas sur la meme question) 1-(x^2/2)<=cos x et x-(x^3/6)<= sin x par contre je ne vois pas comment il veulent que l'on explique.
Si vous pouvait m'éclaircir sa serais cool

[ansset]

Vous aller peut-etre me prendre pour un con mais je viens de comprendre que dans l'ennoncé au départ on nous donne f(x)=sin x-x en fait la dérivé de f(x)=1-(x^2/2)-cos x et f'(x)=sin x -x de plus que pour f(x)=x-(x^3/6)- sin x et sa dérivé f'(x)= 1-(x^2/2)-cos x donc effectivement sa aide bcp mais j arrive pas a comprendre la question: montrer de meme que pour x>=0 on a les deux fonctions ( pas sur la meme question) 1-(x^2/2)<=cos x et x-(x^3/6)<= sin x par contre je ne vois pas comment il veulent que l'on explique.
Si vous pouvait m'éclaircir sa serais cool

bien vu les dérivées .
et je ne te prend certainement pas pour un con !!
et je préfère ça à sin(x)=x qui m'a fait trembler un instant !

appelons f(x) la fonction initiale en cos(x) et
g(x) la fonction en sin(x) pour ne pas se melanger les crayons..
g(x)= x-(x^3/6)-sin(x)
tu as bien remarqué que g'(x) = f(x)

hors avant en dérivant f(x) tu as trouvé que :
f'(x) <0 donc f décroissante et comme f(0)=0 alors f est toujours négative

si f(x) est toujours négative alors on retourne vers g(x)
g'(x) = f(x) donc on a aussi g(x) décroissante car g'(x) <=0
et aussi g(0)=0
donc g(x) est toujours négative.....

[invite429b441b]

quand tu prend f(x)pour c'est f(x)=1-(x^2/2)-cos x ou f(x)=sinx -x

[ansset]

quand tu prend f(x)pour c'est f(x)=1-(x^2/2)-cos x ou f(x)=sinx -x

oui celle là, si tu appelles toutes les fonctions f(x) tu va t'embrouiller..
l'autre est la dérivée !!

[invite429b441b]

okay merci de ton aide