DM sur la doite d'euler

[invitec8d113ca]

Bonjour à tous!
Voilà, j'ai un dm de maths qui me pose beaucoup de problèmes. La droite d'euler est un sujet très diffusé sur internet mais ce n'est pas pour autant que je m'en sort. Je croit que j'ai un problème avec les maths en ce moment^^
Bref, j'aurais besoins d'un ptit coup de main.Des explications seront les bienvenues. Merci d'avance.

A. Résultats préliminaires

Les deux questions sont indépendantes

1. OBC est un triangle isocèle en O. I est le milieu de [BC]. Calculer
(OB+OC).BC
>ceux sont des vecteurs mais je n'arrive pas à mettre les flèches^^

2. A, B, C sont trois points distincts non alignés. Que peut-on dire d'un vecteur u tel que u.AB = 0 et u.BC = 0 est le vecteur nul ?

B. La doite d'Euler
ABC est un triangle, C est son cercle circonscrit de centre O, H son orthocentre et G son centre de gravité.

1. a) En utilisant la relation de la question A.1, démontrez que
(HO + OA + OB + OC). BC = 0

b) Démontrez de même que (HO + OA + OB + OC). AB = 0

c) En utilisant le résultat A.2, montrez que OH=OA+OB+OC

2. a) n rappelle que le centre de gravité G d'un triangle ABC vérifie la relation GA+GB+GC=0
Exprimer OA+OB+OC en fonction de OG

b) Déduire des questions précédentes que O, H et G sont 3 points alignés.
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[invite51d17075]

1. OBC est un triangle isocèle en O. I est le milieu de [BC]. Calculer
(OB+OC).BC
>ceux sont des vecteurs mais je n'arrive pas à mettre les flèches^^

2. A, B, C sont trois points distincts non alignés. Que peut-on dire d'un vecteur u tel que u.AB = 0 et u.BC = 0 est le vecteur nul ?

.

les premières questions sont plus faciles.
en vecteurs :
(OB+OC)=(OI+IB+OI+IC)
= ( 2OI ) car IB = -IC ( I milieu de BC )
et 2OI.BC = 0 car OI est perp à BC ( triangle isocèle en O ).

la 2 est facile !

[invitec8d113ca]

Et maintenant, voici les réponses des questions que je pense avoir réussie:

A.
1) (OB+OC).BC = (OI + IB +OI +IC).BC
=1/2 (- BC²+BC²)
= 1/2 *0
= 0
(cette réponse est un peu abrégée, bien sur j'ai un peu plus développé sur ma copie)

2) 1- Hypothèse :

A, B, C, ne sont pas alignés.
on a aussi u.AB=0 ==> soit u=0 soit u perpandiculaire à AB
u.BC = 0 ==> soit u=0 soit u perpandiculaire à BC
Or les droites (AB) et (BC) sont sécantes puisque les points A, B, C ne sont pas alignés; le vecteur u ne peut pas être simultanément perpendiculaire à deux droites distinctes, donc il est nul.
conséquence : u = 0

Pour le reste des questions, cela reste un grand mystère pour moi pour l'instant.^^

[invitec8d113ca]

Bonjour Ansset !

Pourriez vous me dire si ma réponse est juste pour la question A 2 ? Ce serait très gentil^^

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite51d17075]

1. a) En utilisant la relation de la question A.1, démontrez que
(HO + OA + OB + OC). BC = 0

c'est OK pour A2)

la suite :
ton équation peut s'écrire
(HO + OA +OB+OC ).BC= (HA+OB+OC).BC

dejà HA.BC = 0 car H est sur la hauteur entre A et BC ( définition de l'orthocentre )

si O est le, il est à l'intersection des médiatrices et surtout centre du cercle inscrit donc !OB! = !OC! et donc 0BC est un triangle isocèle et on est ramené au cas A1)

[invitec8d113ca]

Merci beaucoup Ansset !
Grâce à vous j'ai déjà bien avancé. Il ne me reste plus que les deux dernières questions du B. Je n'ai pas encore trouvé mais j'y réfléchie...^^

[invite51d17075]

pour 1b) c'est immediat.
simple question de logique, sans faire aucun calcul.

pour 1c) l'astuce est de trouver une addition qui va bien.

[invitec8d113ca]

Bonsoir Ansset,
Tout d'abord merci de suivre de près mon sujet

Pour la B.1.b j'ai quand même fait un petit calcul
(HO+OA+OA+OC).AB=0
(HO+OC).AB+(OB+OA).AB=0

(OB+OA).AB=0

Etant donné que H est sur la hauteur issue de C qui est perpandiculaire au vecteur AB, alors le vecteur HC est perpandiculaire à AB d'où HC.AB=0 car ils sont orthogonaux
De plus AOB est un triangle isocèle car O est centre du cercle circonscrit du triangle ABC
donc HC.AB+(OB+OA).AB=0

pOUR LA QUESTION B.1.c, j'ai fait
on a OH= OA+OB+OC
or on sait que (HO+OA+OB+OC).AB =0
et (HO+OA+OB+OC).BC =0
et que u.AB =0
u.BC =0
on remarque que u = HO+OA+OB+OC
D'où HO+OA+OB+OC= 0
OA+OA+OC= - HO
OA+OB+OC= OH

Voila!!! J'espères déjà que ces réponses là sont bonnes^^ Pourriez vous me le confirmer s'il vous plait.
Un très grand merci d'avance!

[invite51d17075]

c'est un peu tournicoté , je pense que tu peux faire plus simple.
mais , ça à l'air ok ,
la suite pour la 3) ?
tu trouves l'astuce ?

[invitec8d113ca]

Oui, en effet mais réponses sont un peu longues mais bon...on va dire que ça ira^^
Alors pour le question B.2a), je pense avoir trouvé l'astuce!!! (youpi), j'ai mis
GA+GB+GC=0
GO+OA+GO+OB+GO+OC =0
3GO+OA+OB+OC=0
OA+OB+OC=3OG

b) on sait que OH=OA+OA+OC
3OG= OA+OB+OC
d'ou OG=1/3 OH ou 3OG=OH
On a bien OG= k OH, les vecteurs OG et OH sont donc colinéaires, de plus ils ont le point O en commun donc les points O,G et H sont alignés. (je ne sais pas si cette conclusion est très bien formulée)

[invite51d17075]

Oui, en effet mais réponses sont un peu longues mais bon...on va dire que ça ira^^
Alors pour le question B.2a), je pense avoir trouvé l'astuce!!! (youpi), j'ai mis
GA+GB+GC=0
GO+OA+GO+OB+GO+OC =0
3GO+OA+OB+OC=0
OA+OB+OC=3OG

b) on sait que OH=OA+OA+OC
3OG= OA+OB+OC
d'ou OG=1/3 OH ou 3OG=OH
On a bien OG= k OH, les vecteurs OG et OH sont donc colinéaires, de plus ils ont le point O en commun donc les points O,G et H sont alignés. (je ne sais pas si cette conclusion est très bien formulée)

enfin pour moi c'est Ok ,
l'astuce était d'additionner les 3

[invitec8d113ca]

Je vous remercie infiniment pour votre aide car grâce à vos réponses j'ai eu 20 à mon DM ! Youpiiii