Probabilité : démontrer sans la négation

[invitef8661968]

Bonjour!

Voilà je fais mon exo de maths et je me demande s'il est possible de le résoudre sans passer à la négation de la proposition ; vous allez vite comprendre:

Soit

K la population de la France.
L'expérience aléatoire : choisir une personne au hasard
les propositions : A : "l'individu possède un groupe sanguin A"
B : "..." AB : "...." et O:"..."

Question : Calculer la probabilité qu'il y ait au moins une personne du groupe O sur un tirage de n personnes.

Ce que je fais c'est que je pose :

V : "au moins 1 personne est du groupe O"

soit V/ (non V) : "toutes les personnes sont de O/ "
avec O/ = A u B u AB (juste comme ça, on considère que AB, A, B et O forment une partition de K donc que A # B différent de AB). j'appelle # : intersection "et".

Et je dis donc que V/ = O1/ #O2/ #...#On/ avec n le nombres de personnes.

Ainsi comme les tirages sont indépendants (on tombe pas sur des gens de la même famille normalement ) :
p(V/) = p(O1/) x p(O2/) ......


Bref vous avez compris.

Ce que je me demande, c'est si on peut répondre à la question : calculer la probabilité de V, sans passer par V/ ??? (donc calculer la probabilité que au moins 1 personne soit du groupe O directement).


Voilà merci merci!!

ps: Je chercherais bien mais j'ai un commentaire de philo sur le feu!

Bonne soirée!
-----

[invite51d17075]

Bonjour!

Voilà je fais mon exo de maths et je me demande s'il est possible de le résoudre sans passer à la négation de la proposition ; vous allez vite comprendre:

ben pourquoi faire compliqué quand on peut faire simple.
c'est juste la proba 1- qu'aucun ne soit 0 !

[invitef8661968]

c'est ce que j'ai fais (cf la suite) où j'ai démontré la proba que toutes les personnes soient de O/ , cad qu'aucune ne soit O.

mais je veux savoir s'il est possible de le faire directement (je sais que c'est plus compliqué mais est ce une raison pour ne pas avoir à savoir le faire.. je ne crois pas ).

[invitef8661968]

personne n'a d'idée ou veut répondre???

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite51d17075]

d'accord , ça vient.
soit p la proba : groupe O d'un individu et P(n) la proba d'au moins 1 sur n individu.

P(1)=p
sinon on prend le deuxième candidat, sachant que le premier n'est pas O
d'ou
P(2)=p+(1-p)p
de proche en proche
P(n)=p+p(1-p)+p(1-p)²+p(1-p)^3+.....+p(1-p)^(n-1)

on obtient une suite géométrique en (1-p)^k
P(n) = p * ( 1-(1-p)^n)/(1-(1-p))
soit P(n) = 1-(1-p)^n

ce qui est bien egal à
1 - probabilité d'aucun candidat =
1-(1-p)^n

ça te va ?

[invitef8661968]

oui ça me va parfaitement! Et en plus je trouve ça bien plus jolie que l'autre méthode! (les 5 petits points y sont pour quelque chose je pense ! ^^ ..... enfin leur signification bien sûr!)

Bref bref, bien le merci et bon week end!