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Dérivation d'une fonction avec cosinus



  1. #1
    Bouna37

    Dérivation d'une fonction avec cosinus


    ------

    Salut à tous.

    En faisant un exo de math je suis tombé sur une questioin qui m'a laissé sans réponse:

    Prouvez que la dérivée de f(x) = 2sin x (1+cos x) est égale à
    2(2 cos x -1) (cos x+1).

    J'ai essayé d'utilisé (u*v)'=u'v+uv'

    Ca me donne f'(x)= 2 cos x+ 2cos²x -2 sin² x
    J'ai essayé de simplifier après mais je ne trouve pas la bonne solution.
    Merci de m'aider un peu à me débloquer.

    -----

  2. #2
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : Dérivation d'une fonction avec cosinus

    bonjour ,

    sin²(x) = 1 - cos²(x) !
    ça vient tout seul après.

  3. #3
    Bouna37

    Re : Dérivation d'une fonction avec cosinus

    Ok je retrouve bien: 4cos² x + 2cos x -2 , qui se factorise par
    2 (2cos x-1)(cos x +1)

    Merci à toi

  4. #4
    Bouna37

    Re : Dérivation d'une fonction avec cosinus

    Alors j'ai une autre question:

    Il faut que j'étudie les variations de sin (2x+ (pi/3)) sur [-pi/6 ; pi/3]

    Mais je ne trouve pas la dérivée.

    Merci de bien vouloir me donner un petit coup de pouce

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : Dérivation d'une fonction avec cosinus

    bonjour,
    ça se dérive sin(g(x)) .
    en faisant la dérivée de f°g(x).

  7. #6
    Bouna37

    Re : Dérivation d'une fonction avec cosinus

    J'ai essayé en faisant (u*v)' = u'v+uv'

    Et ca me donne cos(2x²) + 0.5 + 2sinx

    Est ce que c'est bien ca et comment le refactoriser?
    Merci encore

  8. #7
    Kwakanar

    Re : Dérivation d'une fonction avec cosinus

    Dans ton cas il y a plus simple que de développer-dériver-factoriser.
    sin(2x + pi/3) est de la forme g o (fonction affine), avec g = sin et la fonction affine x->2x+pi/3.
    Résultat de cours (dérivation d'une composée) : (g(ax+b))' = a g'(ax+b)
    Ici : (sin(2x+pi/3))' = 2 * cos(2x+pi/3)

  9. #8
    Bouna37

    Re : Dérivation d'une fonction avec cosinus

    Ok, merci à toi et c'est vrai que c'est beaucoup plus rapide comme ca.

    Décidément j'aime variment pas les finctions avec cosinus ou sinus, parceque j'ai une autre question.

    Comment peut on démontrer que la fonction f(x)= sin (2x+ pi/3) est periodique de période pi?

    J'ai essayé en calculant f(x)+pi, je pensais que ce serait égale à f(x), mais je n'ai pas trouvé ça. Alors merci de me dire comment procéder.
    Merci encore à tous

  10. #9
    Kwakanar

    Re : Dérivation d'une fonction avec cosinus

    Non il faut regarder f(x+pi).

    f(x)+pi revient juste à monter toute la courbe de pi, aucune chance que ce soit égal à f(x) !
    ( f(x)+pi = f(x) équivaut à pi=0 ............ )

  11. #10
    Bouna37

    Re : Dérivation d'une fonction avec cosinus

    C'est ce que j'ai fait (c'est vrais que je me suis mal exprimé)

    Ca me donne f(x+pi) = sin (2x+ (4pi)/3)

    Après j'ai fais sin (a+b) = sina cos b + sin b cos a
    Mais je trouve pas la même chose.

    Voilà ce que ca me donne:
    sin (2x + pi/3) = 0.5sin 2x + cos 2x (sqrt3)/2
    et sin (2x + 4pi/3) = -0.5sin 2x - cos 2x (sqrt3)/2

    Il doit y avoir une erreur de calcul non?

  12. #11
    Bouna37

    Re : Dérivation d'une fonction avec cosinus

    S'il vous plait un peu d'aide, la je bloque.

  13. #12
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : Dérivation d'une fonction avec cosinus

    Citation Envoyé par Bouna37 Voir le message
    C'est ce que j'ai fait (c'est vrais que je me suis mal exprimé)

    Ca me donne f(x+pi) = sin (2x+ (4pi)/3)

    Après j'ai fais sin (a+b) = sina cos b + sin b cos a
    Mais je trouve pas la même chose.

    Voilà ce que ca me donne:
    sin (2x + pi/3) = 0.5sin 2x + cos 2x (sqrt3)/2
    et sin (2x + 4pi/3) = -0.5sin 2x - cos 2x (sqrt3)/2

    Il doit y avoir une erreur de calcul non?
    oui, une petite erreur
    la fonction est périodique si f(x+pi )= f(x)
    hors f(x) = sin( 2x + pi/3)
    donc f(x+pi)= ?
    le pi est multiplié par 2 car x l'est dans la fonction

  14. #13
    Bouna37

    Re : Dérivation d'une fonction avec cosinus

    Ok merci beaucoup.
    Une petite erreur d'inattention qui m'aura coutée pas mal de temps.

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