Logarithme, limites dérivées.. Tle ES

[invite690fe567]

Bonjour à tous,
J'ai un DM à faire et à rendre prochainement et je bloque sur certaines questions. En espérant que quelq'un puisse m'aider !

On considère la fonction définie sur ]1; +infini[ par : f(x) = - x + 4 + ln (x+1/ x - 1).

1/ Etudier les limites de f en 1 et en +infini.

en 1 : je ne calcule qu'en 1+ et je trouve : +infini
en +infini : je trouve -infini.

2/ Montrer que pour tout réel x de ]1; +infini[, on a f'(x) = (- x² + 1) / (x+1)(x-1)..
En déduire le sens de variation de f sur cet intervalle.

3/ Montrer que pour tout x de ]1;+infini[ , (x+1) / (x-1) supérieur à > 1.


Merci de votre aide !
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[invite1e1a1a86]

1) a priori oui
2) ln(a/b)=ln(a)-ln(b)
puis on utilise les règle simples de dérivation
3) facile non?
x>1 donc....

[invite690fe567]

Je ne comprend tjrs pas ^^. dsl

Pour la dérivée de la fonction ln, j'ai utilisé la formule ln(u(x)) = u'(x) / u(x)
Au final j'ajoute chaque morceau, que j'ai dérivé antérieurement, je met sous même dénominateur etc... mais je ne trouve pas le f'(x), qui m'est demandé

Ca fait un bon bout de temps que je cherche que je suis rentré du lycée et je n'arrive tjrs pas à trouver une solution.

Please !
Peut-être que si l'on me donnait une simple astuce où quelque chose du genre ça me débloquerait, j'ai envie de trouver !

[invite1e1a1a86]

f(x) = - x + 4 + ln (x+1)-ln(x - 1)
f'(x)=-1+1/(x+1)-1/(x-1)=....

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite690fe567]

oui je comprend.
D'accord, donc maintenant j'obtiens cela.

L'idée maintenant c'est de mettre tout au même dénominateur n'est ce pas ?

[invite690fe567]

en claculant ma dérivée je trouve maintenant : -x² - 1 / (x+1) (x-1)
et non : -x² + 1 / (x+1) / (x - 1)

je ne dois pas être très loin, mais le résultat n'est tjrs pas le bon :S

[invite1e1a1a86]

écris sur une feuille, pose les calculs et fais attention au parenthèse.

[invite690fe567]

Avec ton aide j'obtiens :

f'(x) = -1 + (ln 1/ x+1) - (ln 1 / x - 1).

alors : ( -1(x+1) + 1 ) / (x+1) - (ln 1 / x - 1)

donc : ( - x - 1 + 1 ) / (x+1) - (ln 1 / x-1)

= ( -x / x+ 1) - (ln 1 / x - 1)

= ( - x ( x - 1 ) - 1 ( x + 1) ) / (x+1)(x-1)

= -x² + x - x - 1
= -x² - 1


trouves tu une petite erreur qui ce serait gliséée ??!! ^^

[invite1e1a1a86]

c'est quoi ces "ln1" ?

je ne comprend rien a ton calcul:

f'(x)=-1+1/(x+1)-1/(x-1)
mise au même dénominateur


Mapple me donne la même chose, tu as mal recopié ton énoncé? réécris f(x) avec les parenthèses.

edit: en même temps, f'(x)=-1 dans ton premier énoncé...

[invite690fe567]

Ah mince, j'ai gaffé.

Dans l'énoncé on me donne :
f(x) = -x+ 4 + ln ( x + 1 / x - 1 )
et en dérivant cela je dois trouver :

f'(x) = - ( x² + 1) / (x+1) ( x - 1)

Et en dérivant depuis des heures, je trouve toujours la même chose au numérateur : - x² - 1
donc c'est faux.
as-tu une petite astuce stp ?

[invite1e1a1a86]

-(a+b)=-a-b

[invite690fe567]

Ah oui exact.
Donc dans ce cas là, mon résultat est bon ??!!

Pour le 3), là par contre je ne comprend strictement rien

Je n'ai pas bcp vu ça en cours

[invite1e1a1a86]

car x>1
x-1>0

[invite690fe567]

Je ne comprend pas trop :s
comment passe t-on de la première à la seconde étape ?

[invite690fe567]

Pouvez- m'aider pour le 3) svp ?

On me demande de montrer que pour tout x de ]1; + infini [, (x + 1 / x - 1 ) > 1.



J'ai également, une question n° 4 sur laquelle j'ai planché toute l'aprem, mais je n'y arrive vraiment pas.

4) Déterminer les coordonnées du point de C, la bourbe représentative de Cf, où la tangente à la courbe à un coefficient directeur égal à : ( -5/ 3), et donner une équation de cette tangente.

Ce qui me bloque c'est le fait d'avoir drectement le coeff, et du coup je n'arrive pas à trouver les coordonnées.
Par contre pour trouver l'équation de la tangente, c'est simple, il suffit juste d'appliquer la formule.

Mais si quelqu'un pouvait m'aider, ce serait vraiment gentil !
Merci beaucoup.

[invite1e1a1a86]

où est le problème dans la question 3? la réponse est 2 messages plus haut


sinon, il suffit de voir que pour x>1
x+1>x-1>0
et diviser par x-1>0

c'est quoi le coefficient directeur? quel est le lien avec la dérivée?

si tu réponds à ça, c'est fini

[invite690fe567]

Oki dac. merci alors.

Le coefficient directeur est le nombre dérivé de la fonction f en un nombre a.
Mais je n'arrive pas à trouver les coordonnées des points.
On ne me donne aucun point, ni rien.
Cependant, je pense qu'il faut résoudre l'équation f '(x) = ( -5/3)
La solution obtenue est alors l'abscisse.
Pour trouver l'ordonnée, je dois calculer l'image du nombre obtenu par f.

Malheuresement je n'arrive pas à appliquer.
Suis-je sur la bonne voie ?

[invite1e1a1a86]

oui, c'est ça

[invite690fe567]

Mais je n'arrive pas à calculer : f'(x) = - 5 / 3

Comment peut-on faire ?

[invite1e1a1a86]

résolution d'une équation du second degrés....

[invite690fe567]

j'obtiens maintenant !

( ( -x² + 1 ) + 1 ) / (x+1)(x-1)

Mais je n'arrive pas à aller plus loin.
Je vaisa voir deux polynomes de deré deux, si je développe
Mais ca ne doit pas être la bonne solution.
Comment puis-je avancer ?
Merci beaucoup

[invite690fe567]

euhh désolé : j'obtiens maintenant

-x² + 1 : (x+1)(x-1) + 5/3 = 0

Je suis malheuresement bloqué

[invite690fe567]

S'il vous plaît !!!
Je suis vraiment bloqué, un petit coup de pouce m'aiderait vraiment.
Je n'arrive pas à résoudre l'équation du haut.
Il y a t il une petite astuce ?
Merci beaucoup

[invite1e1a1a86]

tu n'as rien fait.... tu as juste passé le 5/3 de l'autre coté...

multiplie par le dénominateur, passe tout du même coté, puis résoud l'équation du 2nd degré

il serait temps de lire (et comprendre) les bases des maths

a/b=c => a-bc=0 (pour peu que b n'est pas nul)

[invite690fe567]

Je dois multiplier (-5/3) par le dénominateur, c'est à dire (x+1)(x -1) alors ?

[invite1e1a1a86]

http://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9nominateur

donc oui

faut chercher un peu tout seul aussi...

[invite690fe567]

En faisaint cette méthode, j'obtiens :
( -x² + 1 ^) / 1 + (10/3)x = 0

C'est faux non ?

[invite690fe567]

désolé, j'ai mal rédigé, j'obtiens :

( ( -x² + 1 ) ) / 1 ) + (10/3)x = 0

[invite1e1a1a86]

ça veut dire quoi /1?

relis ton cours, c'est au moins facile de multiplier par (x-1)(x+1), de développer le tout et de simplifier ce qui se simplifie pour tomber sur une équation du type qu'on sait résoudre par ton cours...

bonne chance et cherche un peu

[invite690fe567]

Le polynome que j'obtiens est :

-x² + 1 + (10/3)x

C'est faux, non ?