Dm limites, logarithme, exponentielle...

[invitedf3b0b99]

http://img691.imageshack.us/img691/5900/dmmaths4.jpg

Bonjour, j'aimerais avoir de l'aide par rapport à mon dm de maths...

Exo 1 :
1) J'ai transformer f(x):
f(x)= exp (xln0,1) + exp (xln0,2) + exp (xln0,3) + exp (xln0,4) + exp (xln0,5) + exp (xln0,6) + exp (xln0,7) + exp (xln0,8) + exp (xln0,9)

Limite quand x tend vers -infini de (xln0,1)= + infini
(Car lim quand x tend vers - infini de x = - infini et, ln 0,1 <0)
Et lim quand x tend vers + infini de exp(x)= + infini
Donc on a: lim quand x tend vers -infini de exp (xln0,1) = +infini
De même pour les autres, j'en déduis donc que:
lim quand x tend vers -infini de f(x) = + infini

Limite quand x tend vers +infini de (xln0,1)= - infini
(Car lim quand x tend vers + infini de x = + infini et, ln 0,1 <0)
Et lim quand x tend vers - infini de exp(x)= 0
Donc on a: lim quand x tend vers -infini de exp (xln0,1) = 0
De même pour les autres, j'en déduis donc que:
lim quand x tend vers +infini de f(x) = 0

2) Pour tout x de R, f'(x) = (ln0,1)0,1^x+(ln0,2)0,2^x+(ln0 ,3)0,3^x+(ln0,4)0,4^x+(ln0,5)0 ,5^x+(ln0,6)0,6^x+(ln0,7)0,7^x +(ln0,8)0,8^x+(ln0,9)0,9^x

=> on remplace 0,1^x par exp(xln0,1), 0,2^x par exp (xln0,2), etc...
Or pour tout x, exp(x) >0 donc f'(x) est du signe de ln0,1, ln0,2, etc...qui sont strictement <0 car ln x <0 pour 0<x<1.
Donc j'en déduis que f'(x) est strict <0 sur R.
f(x) est donc strict décroissante sur R.

3) Pour la question 3, je ne sais pas comment faire, je pense qu'il faut utilisé le corollaire des valeurs intermédiaires étant donné que f(x) est strict décroissante sur R mais je n'arrive pas à faire le rapport entre les deux fonctions... Si vous pouviez m'aider.. Merci

Exo 2:
Je transforme f(x):
f(x)= exp (xlnx)

lim quand x tend vers 0 de x =0 donc lim quand X tend vers 0 de x^X=1 donc lim quand x tend vers 0 de f(x)=1
lim quand x tend vers +infini de x =+ infini donc lim quand X tend vers +infini de x^X= +infini donc lim quand x tend vers + infini de f(x)= + infini

f'(x) = (ln x +1)* exp(xlnx)
f'(x) = (ln x +1)* x^x
exp^(x) >0 pour tout x appartenant à R donc f'(x) est du signe de ln x +1
Or ln (x) est une fonction strict croissante,
ln x +1 <0
=> ln x < -1
=> x < exp (-1)
donc f'(x) < 0 pour x < exp (-1) et f'(x) >0 pour x > exp (-1)
donc f(x) décroissante sur ]0, exp (-1)] et croissante sur [exp(-1); +infini[

Voilà ce que j'ai trouvé pour le sens de variation et les limites, je pense que c'est cela mais je n'en suis pas certaine...

Exo 3:
J'ai chercher mais nous n'avons pas encore abordé ce point en cours, alors je ne sais pas quelle méthode l'on doit appliquer, si vous pouviez me donner quelques pistes pour que je puisse démarrer l'exercice... merci !!
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[inviteb429f900]

Salut,

Bon gros DM dis donc ! pour l'exo 1)3) ton idée est la bonne et que donne à ton avis et donc que donne

Sinon l'exo 3 je pense qu'il ne te posera pas de difficultés sinon reviens nous voir

@+,Ls

[invitedf3b0b99]

10^x*0,1^x = 1 donc
10^x*f(x)= 1^x+2^x+3^x+4^x+5^x+6^x+7^x+8^ x+9^x

10^x*f(x), que l'on notera f2 est une fonction continue et strictement croissante sur R. D'après le corollaire du théorème de VI, pour tout réel k appartenant à I = f2 (]-infini;+infini[), l'équation f2(x)=k admet une seule solution dans ]-infini;+infini[.
Or I= f2 (]-infini;+infini[)= ]lim quand x tend vers -infini de f2; lim quand x tend vers +infini de f2[ = ]0; + infini[
Or 10^x appartient à ]0; + infini[ pour tout x>0 donc l'equation f(x)=10^x a une seule solution alpha dans ]-infini;+infini[

C'est cela que je dois faire? Mais sa ne me permet pas de déduire que c'est égal à 10^x, non? et pour la valeur approchée comment faut-il faire?