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Exercice de concours



  1. #1
    scemamadan

    Exercice de concours


    ------

    Bonjour je passe un concours dans 2 mois pour des ecoles d'ingenieurs.
    Et un exercice me pose probleme.
    Il consiste a calculé la limite lorsque x-> -2 et x<-2 de
    [f(x) - (f-2)]/(x+2)


    Sachant que au dessus on a une courbe de la fonction f pour laquelle : f(-2) = 1.



    Si vous pouviez m'aider.. Merci !

    -----

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  3. #2
    Duke Alchemist

    Re : Exercice de concours

    Bonsoir.

    Aurais-tu une indication concernant la pente de la tangente à la courbe en x=-2 ?

    Duke.

  4. #3
    scemamadan

    Re : Exercice de concours

    Oui voila, on sait donc que f(x) n'est pas derivable en -2.
    Images attachées Images attachées
    Dernière modification par Flyingsquirrel ; 22/03/2010 à 09h16. Motif: Image passée en pièce jointe

  5. #4
    Duke Alchemist

    Re : Exercice de concours

    Re-

    Pourquoi affirmes-tu qu'elle n'est pas dérivable en -2 ?

    Je ne vois pas de point d'inflexion (ni même de rebroussement) mais plutôt une tangente horizontale... non ?

    Cordialement,
    Duke.

    EDIT : Comment est définie ta fonction ?
    On te donne une équation ou faut-il se servivr uniquement de la courbe ?

  6. #5
    scemamadan

    Re : Exercice de concours

    Il y a 2 tangentes possible en -2 et non pas une tangente horizontale, du coup elle n'est pas dérivable. C'est une question qui est posé juste avant, et la reponse est effectivement qu'elle n'est pas dérivable en -2...

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Rhodes77

    Re : Exercice de concours

    Bonsoir,

    L'image est tendancieuse, mais le problème ne semble pas se poser puisqu'on vous demande de calculer la limite quand x tend vers -2 par valeurs supérieures.
    Si la fonction n'est pas dérivable en -2, c'est qu'on est en présence d'un point de rebroussement. Il y a moyen de définir une limite à gauche, une limite à droite, mais elles ne coïcident pas...
    S'il s'agit d'une analyse graphique, une tangente devrait convenir j'imagine.

    Bon courage
    Etre professionnel ne donne pas le droit d'être pédant

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  10. #7
    scemamadan

    Smile Re : Exercice de concours

    C'est bon j'ai trouvé, apres beaucoup de reflexion. Il suffit de se rapeller de la formule de la defition de la derivabilité.

    lim lorsque x tend vers a de : f(x) - f(a) / x - a = f'(a)

    Il suffit alors de calculer le coefficient directeur sur le schéma.

    Salut !

  11. #8
    scemamadan

    Exclamation Re : Exercice de concours

    Petit "up", J'ai de nouveau quelques question à vous poser sur 2 petits exercices..

    1 : J'aimerais comprendre pourquoi cette fonction f(x) = cos^3 (x/2) est PAIRE ?
    Car quand je cherche je trouve f(-x) = -f(x) ce qui me donne une fonction Impaire..

    2 : On me demande de trouver la limite en 2 de cette fonction :
    (-3x² +6x)/(2x²-8)

    Et je n'arrive absolument pas.. je trouve toujours 0/0..

    Merci de votra aide !

  12. #9
    ansset

    Re : Exercice de concours

    bonjour ,
    pour la 1)
    cos(-u)=cos(u) , donc cos^3(-u)=cos^3(u) ...

    pour la 2) il faut factoriser en haut et en bas.
    en haut -3x²+6x = -3x(x-2)
    en bas, il y a un a²-b² quelque part.

  13. #10
    scemamadan

    Re : Exercice de concours

    Merci pour ta reponse aussi rapide !
    Je n'ai pas tres bien compris ta réponse pour le 1) ! Quand on eleve au cube un nombre il garde le meme signe non ? soit -x/2 ?

    Sinon pour le 2) Je crois effectivement que c'est la bonne methode.
    Je factorise par (x-2) et au final je trouve -6/8 alors que la reponse est -3/2..

  14. #11
    scemamadan

    Re : Exercice de concours

    Ok je viens de comprendre le 1) j'avais oublier que cos(x) = cos(-x) merci le cercle trigonometrique...

    Cependant pour le 2) Je sens que je suis pas loin, mais je n'arrive pas au bon résultat.. Si tu pouvais m'en dire plus..

  15. #12
    ansset

    Re : Exercice de concours

    j'arrive au même resultat que toi, soit -6/8 = -3/4 .
    en supposant qu'il n'y ait pas de faute de frappe dans l'équation que tu as posté.
    car la lim vaut -3x/2(x+2)

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  17. #13
    scemamadan

    Re : Exercice de concours

    C'est tres bizarre en effet... Cet exercice est vraiment incroyable. Je ne me suis pas trompé dans l'énoncé, et la réponse est vraiment : -3/2.

    Je pense qu'il y a une erreur dans la réponse car la réponse C est effectivement : -3/4 !

    Je n'en suis pas sur...

  18. #14
    ansset

    Re : Exercice de concours

    -3/2 est bien une limite,

    mais c'est la limite en +/- l'infini .
    peut être était-ce une autre question.

  19. #15
    driki.mohamed

    Re : Exercice de concours

    -si tu utilises l'hopital:tu as la derivé de -3x²+6x est -6x+6, et en bas tu as une derivé de 2x²-8 qui est égale à 4x alors tu obtient: alors la limite est -6/8=-3/4,
    -si tu utilise la décomposition des deux polynôme en haut et en bas: tu aura:
    (-3x(x-2)/2*(x-2)*(x+2)), après simplification par x-2, tu trouveras la même limite-3/4.

  20. #16
    scemamadan

    Smile Re : Exercice de concours

    Bonne nouvelle ! Je viens de voir sur le site internet que la réponse a ete modifiée et que effectivement la limite est bien -3/4 !

    Merci à toi !

  21. #17
    scemamadan

    Re : Exercice de concours

    J'ai une nouvelle question :
    Sur R- √-x^3 = ?

    J'aurais pensé que ca fait : x√-x mais en fait le résultat est -x√-x.

    C'est surement à cause du domaine de definition.. Mais j'ai du mal à comprendre pourquoi.

  22. #18
    ansset

    Re : Exercice de concours

    ce n'est pas vraiment le domaine de définition.
    si f(x)=sqrt(-x^3) alors le domaine est forcement R- car x^3 est du signe de x.

    mais sqrt(-x^3)=sqrt((x2)(-x))
    = !x! sqrt(-x)
    hors !x! = -x , lalalère.
    heureusement sinon f(x) deviendrait négative ce qui est génant pour une racine carré..... ( dans les réels bien sur )

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  24. #19
    scemamadan

    Re : Exercice de concours

    Oui effectivement j'avais zappé la valeur absolue !
    Mais je ne comprends pas grand chose d'ailleurs à tout ca.
    Pourquoi |x| = -x quand x est définie sur R-.
    En fait, qu'est ce que ca veut dire valeur absolue ?!

  25. #20
    ansset

    Re : Exercice de concours

    Citation Envoyé par scemamadan Voir le message
    Oui effectivement j'avais zappé la valeur absolue !
    Mais je ne comprends pas grand chose d'ailleurs à tout ca.
    Pourquoi |x| = -x quand x est définie sur R-.
    En fait, qu'est ce que ca veut dire valeur absolue ?!
    heuuu !
    pour faire simple, disons que c'est la "distance" entre l'origine et le nombre en question .
    et comme toute distance, elle est toujours positive.
    donc si x est négatif , !x! = -x

    quand on parle ensuite de vecteurs dans le plan (0,i,j) on calcule souvent la norme d'un vecteur (x,y) , celui çi represente de même la grandeur du vecteur et vaut sqrt(x²+y²) toujours positif.
    c'est une sorte d'extension de la valeur absolue en 2 dimension.

  26. #21
    scemamadan

    Unhappy Re : Exercice de concours

    D'accord merci à toi c'est plus clair, je fais le lien avec les nombres complexes et c'est logique, quand on parle de module c'est la distance qu'on cherche.
    Et je comprends mieu la solution de l'exercice merci !!
    J'ai cependant un peu de mal sur cet exercice, c'est sur les complexes.
    dans un premier temps on me demande de calculet les solutions z1 et z2 de cette equation dans C : -2z² + 3z - (25/8) = 0.

    J'ai donc calculé z1 et z2 : je trouve : z1 = (-3-4i)/-4 et z2= (-3+4i)/-4

    Ensuite on demande de calcule l'argument de z1. Et le resultat est :
    π - arg(z2)

    et je ne comprends pas trop pourquoi..

  27. #22
    ansset

    Re : Exercice de concours

    c'est OK pour z1 et z2
    mais tu remarquera justement que
    z1 = a1+b1
    z2 = a2 + b2
    avec a1=a2 et b1=-b2

    il y a plusieurs manière d'arriver au resultat.
    une d'entre elle
    arg(z1*z2)=arg(z1)+arg(z2)
    hors z1*z2 est un réel , donc arg(z1*z2)=0
    donc
    arg(z1)= -arg(z2) modulo 2pi

    d'ailleurs, je ne trouve pas pi - arg(z2) , comme tu l'écris.

  28. #23
    scemamadan

    Re : Exercice de concours

    Je comprends ce que tu veux dire, mais le résultat est:
    Arg(z1) = Pi - Arg (z2)

    Ce qui est bizare, meme graphiquement...

  29. #24
    ansset

    Re : Exercice de concours

    Citation Envoyé par scemamadan Voir le message
    Je comprends ce que tu veux dire, mais le résultat est:
    Arg(z1) = Pi - Arg (z2)

    Ce qui est bizare, meme graphiquement...
    tu me refais le coup du vrai/faux resultat ??
    le resultat est :
    mod(2pi) - Arg(z2)

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  31. #25
    scemamadan

    Re : Exercice de concours

    Je comprends pas vraiment, modulo 2pi - Arg (z2) ? Pourtant la j'ai bien verifié le resultat et c'est vraiment Pi - arg (z2) ...
    Quelle est la méthode pour arriver à ton résultat ? Je comprends pas vraiment..

  32. #26
    ansset

    Re : Exercice de concours

    Citation Envoyé par scemamadan Voir le message
    Je comprends pas vraiment, modulo 2pi - Arg (z2) ? Pourtant la j'ai bien verifié le resultat et c'est vraiment Pi - arg (z2) ...
    Quelle est la méthode pour arriver à ton résultat ? Je comprends pas vraiment..
    la methode, je te l'ai donné.
    arg(z1*z2) =arg(z1)+arg(z2)

    mais je peux te donner un calcul complet.
    tu peux voir que !!z1!!=!!z2!! = sqrt(9/16+1)=5/4
    donc
    z1= 5/4*(3/5 + i*4/5)
    z2= 5/4*(3/5 - i*4/5)
    que l'on peut ecrire aussi
    z1 = 5/4( cos(a1) + i*sin(a1))
    z2 = 5/4 (cos(a2)+ i*sin(a2))
    avec donc:
    cos(a1)=cos(a2) et
    sin(a1)=-sin(a2)
    et si on fait le calcul on trouve
    a1 = 0,9273 ( en radians) soit environ 53°
    a2 = -a1

    deux angles qui ont le même cosinus ne peuvent pas être
    a1 = pi - a2

  33. #27
    scemamadan

    Re : Exercice de concours

    En fait je crois que je ne trouve pas les memes solutions que toi de l'equation..

    Pour moi z1 = (-3-4i)/-4 et z2 = (-3+4i)/-4 soit en fait : z1 = 3/4*i et z2 = 3/4*(-i).

    Je crois que chez toi le denominateur est 5.

    Tu mets ensuite sous la forme trigonométrique, et tu compare ensuite les 2 angles. Je comprends ce que tu veux dire, mais vraisemblablement ce n'est pas ça..

  34. #28
    ansset

    Re : Exercice de concours

    Citation Envoyé par scemamadan Voir le message
    En fait je crois que je ne trouve pas les memes solutions que toi de l'equation..

    Pour moi z1 = (-3-4i)/-4 et z2 = (-3+4i)/-4 soit en fait : z1 = 3/4*i et z2 = 3/4*(-i).

    Je crois que chez toi le denominateur est 5.

    Tu mets ensuite sous la forme trigonométrique, et tu compare ensuite les 2 angles. Je comprends ce que tu veux dire, mais vraisemblablement ce n'est pas ça..
    mais non, ce n'est pas ça du tout.....
    j'ai bien les mêmes z1 et z2 que toi.
    et z1 ne peut pas valoir à la fois 3/4 +i et 3/4i .
    si je retrouve ensuite une autre écriture de z1 et z2, c'est simplement après avoir mis le module en facteur.

    rappel sur les complexes:
    un complexe z=a+ib peut s'ecrire aussi :
    z=!!z!!*(cos(arg)+i*sin(arg))

    je peux t'expliquer aussi autrement pourquoi tu te trompe.
    z1 et z2 sont les deux solutions d'une équation du second degré.
    celle ci , factorisée peut s'écrire :
    (z-z1)*(z-z2)=0 soit
    z² -(z1+z2)z +z1*z2 .
    l'équation de depart est ecrite avec des réels.
    donc
    z1+z2 est un réel et
    z1*z2 est un réel .....

    si z1*z2 est réel cela implique que arg(z1)=-arg(z2) ( mod 2pi)
    de plus si z1+z2 est réel cela implique que sin(arg1)=-sin(arg2) ce qui est impossible avec pi-arg(z2)

  35. #29
    scemamadan

    Re : Exercice de concours

    Bonne nouvelle ansset ! J'ai contacté le concours, et ils te donnent raison, encore une erreur de leur part.. Ca commence à faire beaucoup !
    Merci de ta part, j'ai bien compris pourquoi maintenant, ca m'a permis de revoir un peu mon cours sur les complexes ! Niquel !
    PS : tu aurais la limite de exp(x²)/x² en 0 ?!
    La réponse est qu'elle n'existe pas, c'est seulement parce que quand on fait la limite ca donne 1/0 ?!

  36. #30
    ansset

    Re : Exercice de concours

    ben oui, c'est l'infini, forcement.

    ils se trompent souvent sur ton site

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