équations differentielles

[invite2bbd7f81]

bonjour , j'aimerais bien que quelqu un m"éclaircisse un peu, car par exemple pour: y'-y=cosx je comprends comment on trouve la solution sans second membre :y'-y=o y'=y y=ke x MAIS je comprends pas pour trouver la solution générale , sur mon corrigé il y a: y=a cos x + b sin x apres il dérive y ce qui donne -asin x+bcosx , là je comprends pas d ou sortent le cos et le sin?? après je comprends qu' on replace y' et y dans l'equation , on identifie les facteurs etc..Mais voilà mon probleme est de savoir comment io trouve le cos et sin..merci d avance ...
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[Guillaume69]

Bonjour,

Je ne suis pas sûr d'avoir compris la question ; tu veux savoir pourquoi on pose y = acosx + bsinx ?

Parce que l'on peut démontrer que la solution particulière d'une équation différentielle de la forme αy'+βy = γsinx + δcos est une combinaison linéaire de cos et de sin.

Donc, au lieu d'utiliser la méthode de variation de la constante, on peut tout de suite poser y = acosx + bsinx et déterminer l'expression de a et de b.

[invite2bbd7f81]

en fait je comprends pas en général comment on trouve la solution générale , je comprends comment trrouver la solution sans second membre mais pas du tout comment trouver la solution particulière meme pour une assez simple comme y'+2y=e 2x pour la première étape ça va ..c est ke -2x, c est pour apres je comprends rien, je m y perds totalement ......pour la seconde partie on cherche y0 et c est là que je pige pas.. Merci

[invite2bbd7f81]

voici le lien des exos , c est le 1er , petit b...http://www.scribd.com/doc/327005/Exe...lles-Lineaires

[A voir en vidéo sur Futura]

[Guillaume69]

en fait je comprends pas en général comment on trouve la solution générale , je comprends comment trrouver la solution sans second membre mais pas du tout comment trouver la solution particulière meme pour une assez simple comme y'+2y=e 2x pour la première étape ça va ..c est ke -2x, c est pour apres je comprends rien, je m y perds totalement ......pour la seconde partie on cherche y0 et c est là que je pige pas.. Merci

Solution générale = solution sans second membre + solution particulière.
La solution sans second membre, tu sais la trouver.
La solution particulière se trouve soit avec un peu de flair comme précédemment, soit - si on a aucune idée de la forme que peut avoir y - en utilisant la méthode de variation de la constante.
Tu n'as pas vu ça en cours ?

Illustration avec ton exemple.
Les solutions homogènes sont de la forme : Aexp(-2x).
On "décide" que cette constante A n'en n'est plus une, mais est une fonction de x (ça a l'air peu rigoureux vu comme ça, mais tout se justifie avec un peu d'algèbre linéaire) :
y1 = A(x)exp(-2x)
y'1 = A'(x)exp(-2x) -2A(x)exp(-2x)
y'1 + 2y1 = A'(x)exp(-2x) = exp(2x) <=> A'(x) = exp(4x) d'où A(x) = exp(4x)/4 d'où y1 = exp(2x)/4.

Solutions générales de l'équation : y = exp(-2x)/4 + Aexp(-2x).

Sauf que là, comme tout à l'heure, on peut deviner directement la forme de la solution particulière : y1 = aexp(2x). D'où y'1 = 2aexp(2x) => y'1 + 2y1 = 4aexp(2x) = exp(2x) => a = 1/4 et on a bien y1 = exp(2x)/4.

C'est bon cette fois-ci ?

[Guillaume69]

D'ailleurs, on te le dit explicitement dans l'énoncé : "résoudre [...] en cherchant une solution particulière du même type que le second membre".

Une combinaison linéaire de sin et cos, en se dérivant, donne toujours une combinaison linéaire de cos.
donc dans une équation telle que 3y' + 2y = 5sinx + cosx ; on cherche une solution particulière du type y1 = asinx+bcosx

Pareil pour une combinaison linéaire d'exp (cf. l'équation résolue ci-dessus).

Quant aux polynômes, dériver ne fait que diminuer d'un ordre son degré. donc si tu as une équation telle que y' + 2y = 5x2 + 2x + 1 ; tu cherches une solution particulière du type y = ax^2 + bx + c.

[invite2bbd7f81]

merci à toi guillaume tu me sauves la mise car j ai un partiel pour demain , et j'aurais de gros exos avec dans chaque une équation differentiel , ou j'en déduirais une fonction qu il faudra que j analyse par la suite , donc si je bloque au 1er stade pour la suite c'est mort , donc je te remercie vraiement , j aurais aussi équation du 2 nd ordre avec 2nd membre, que je vais maintenant bosser ....au c

[invite2bbd7f81]

au cas ou j ai une nouvelle difficulté mais avec celle du 2nd ordre , je ferais signe ...encore merci