Rapport intégrales multiples avec surfaces et volumes

[inviteb4d8c3b4]

Salut à tous.

Depuis le lycée, j'ai tjs appris qu'une intégrale simple est une aire. J'ai tjs compris ça comme ça car en voyant un graphe simple d'une fonction quelconque f(x), on comprend que le produit f(x).dx ou dx est une valeur infinitésimale de x représente une surface. Cela équivaut à une longueur x largeur dans un rectangle.

Mais aujourd'hui, m'intéressant aux intégrales multiples, je trouve de tout sur le net:
1- certaines pages disent par exemple que l'intégrale double équivaut au calcul d'un volume puisqu'on a une surface infinitésimale dxdy multiplié par une autre valeur f(x,y) (équivaut pour moi à : longueur x largeur x hauteur); ces pages disent qu'alors, l'intégrale triple représente quelquechose "d'immatériel" puisqu'on fait intervenir 4 dimension: dxdydz multiplié par une autre valeur f(x,y,z) engendrant cette 4è dimension.
2- a contrario, il y a des cours qui disent que l'intégrale simple est une longueur, la double une surface et la triple un volume

Alors moi, j'y comprends plus rien !!! J'ai besoin de me représenter une image juste dans ma tête, que j'arrive à justifier logiquement ! Mais là du coup, je sais plus quoi est quoi.

Pourriez-vous svp m'expliquer tout ça et me le justifier ?

Merci par avance
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[invite51d17075]

il y a souvent plusieures manières de se faire une image mentale de qcq chose en math ou en physique.
les deux exemples que tu donnes sont acceptables, mais pas uniques.
ex 1) "graphiquement", on peut visuellement associer l'integrale à la surface sous la courbe, c'est d'ailleurs souvent comme ça qu'on la présente souvent.
on peut ainsi retrouver la surface d'un disque par exemple.
si on elargi le problème , on deduit aussi le volume d'une sphère en rajoutant une dimension.
mais celà ne veut pas dire que la variable x est forcement une "distance"..
ce n'est que la variable qu'on intègre.
ex 2). c'est une interprétation plus analytique.
et dans ce cas aussi, la comparaison avec la distance n'est qu'un seul des multiples exemples possibles.
en voiture, tu demarres, tu accélères, tu vas à vitesse V, tu t'arretes sur une ere d'autoroute, etc....
la distance totale parcourue en fonction du temps sera bien l'intégrale de ta vitesse à chaque instant.

j'espère t'avoir aidé.

[invite6c8074bd]

Salut à tous.

Depuis le lycée, j'ai tjs appris qu'une intégrale simple est une aire. J'ai tjs compris ça comme ça car en voyant un graphe simple d'une fonction quelconque f(x), on comprend que le produit f(x).dx ou dx est une valeur infinitésimale de x représente une surface. Cela équivaut à une longueur x largeur dans un rectangle.

Mais aujourd'hui, m'intéressant aux intégrales multiples, je trouve de tout sur le net:
1- certaines pages disent par exemple que l'intégrale double équivaut au calcul d'un volume puisqu'on a une surface infinitésimale dxdy multiplié par une autre valeur f(x,y) (équivaut pour moi à : longueur x largeur x hauteur); ces pages disent qu'alors, l'intégrale triple représente quelquechose "d'immatériel" puisqu'on fait intervenir 4 dimension: dxdydz multiplié par une autre valeur f(x,y,z) engendrant cette 4è dimension.
2- a contrario, il y a des cours qui disent que l'intégrale simple est une longueur, la double une surface et la triple un volume

Alors moi, j'y comprends plus rien !!! J'ai besoin de me représenter une image juste dans ma tête, que j'arrive à justifier logiquement ! Mais là du coup, je sais plus quoi est quoi.

Pourriez-vous svp m'expliquer tout ça et me le justifier ?

Merci par avance

salut,
tu peux le comprendre facilement si tu prend un exemple, si F(x)=2x alors F'(x)=2, tu traces F:
1. dans le repère (i,j), F est une surface, ce qui est proche de la réalité pour moi,
2. dans un repère transformé e=cos(teta)+sin(teta) avec norme(e)=1 et e est le support de F tu vas trouver que F est longeur dans e.
dans tout dépend du repère choisi, mais je suis convaincu que l'intégrale donner une surface, puisque nous travaillons qu'avec (i,j) dans les intégrales multiples.
A vous.

[invitea3eb043e]

a contrario, il y a des cours qui disent que l'intégrale simple est une longueur, la double une surface et la triple un volume

C'est un peu léger de dire ça. Comme déjà dit, ça dépend de ce qu'on intègre.
Si tu intègres le coût par unité de longueur, l'intégrale simple sera un coût.
Si tu intègres x², l'intégrale dx dy sera un moment d'inertie (utile en théorie de la flexion des poutres).
Si tu intègres rho dx dy dz où rho est la charge volumique, ça donnera une charge.

Et d'innombrables etcoetera...

[A voir en vidéo sur Futura]