Orthocentre et Produit scalaire (1ereS)

[invite8372dfa5]

Bonjour!

Alors voilà, je n'arrive pas à faire cet exercice :

ABC est un triangle, H son orthocentre.
A' , B' et C' sont les pieds des hauteurs issues de A, B et C.

1) Montrer que HA.HB = HA.HC
HA, HB et HC sont des vecteurs et "." veut dire "scalaire"

2) En déduire que HA.HA' = HB.HB' = HC.HC'
HA, HB et HC sont des vecteurs et "." veut dire "scalaire"

puis que HA*HA' = HB*HB' = HC*HC' (ici, HA, HB et HC ne sont pas des vecteurs)

Quelqu'un pourrait-il m'aiguiller sur comment répondre? Je n'arrive même pas à répondre au 1).
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[invitea3eb043e]

Commence par démontrer que HA.AB = HA.AC en utilisant le fait que le produit scalaire est lié à la projection d'un vecteur sur l'autre.

[invite6c8074bd]

tu peux aller du fait que (AA') (qui contient le point H)est perpondiculaire à (CB) alors:
A'A.CB=0 or A'A=A'H+HA donc
A'A.CB=(A'H+HA).CB=A'H.CB+HA'. CB=0+HA'.CB=0
or CB=CH+HB de (1) et (2) on déduit que HA'.CH+HA'.HB=0, AINSI HA'.HB=HA'.(-CH)=HA'.HC
POUR 2) je n'ai pas compris l'enoncé

[invite8372dfa5]

Commence par démontrer que HA.AB = HA.AC en utilisant le fait que le produit scalaire est lié à la projection d'un vecteur sur l'autre.

Bonjour!

Je ne comprend pas vraiment ce que vous voulez dire par "le produit scalaire est lié à la projection d'un vecteur sur l'autre".

Dans mon cours, je n'ai que :

AB.AC = 1/2 (AB²+AC²-BC²);

AB.AC= AB*AC*cos(vecAB, vecAC);

AB.AC= AB*AC*cos BÂC;

...et le fait que le produit scalaire de deux vecteurs orthogonaux est égal à 0.

La solution doit bien être dans ces formules mais je n'y arrive pas.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite8372dfa5]

tu peux aller du fait que (AA') (qui contient le point H)est perpondiculaire à (CB) alors:
A'A.CB=0 or A'A=A'H+HA donc
A'A.CB=(A'H+HA).CB=A'H.CB+HA'. CB=0+HA'.CB=0
or CB=CH+HB de (1) et (2) on déduit que HA'.CH+HA'.HB=0, AINSI HA'.HB=HA'.(-CH)=HA'.HC
POUR 2) je n'ai pas compris l'enoncé

Bonjour!

C'est exactement ce que j'ai fais pour le 1) mais nous arrivons tous deux à HA'.HB=HA'.HC alors que ce que nous devons trouver c'est HA.HB=HA.HC!

Certes, HA et HA' sont colinéaires... mais HA n'est tout de même pas égal à HA'... ou alors il dois vraiment y avoir quelque chose qui m'échappe!

[invitea3eb043e]

AB.AC= AB*AC*cos BÂC

Regarde cette formule que tu as écrite : le produit AC*cos(BAC); c'est la projection de AC sur AB : on abaisse depuis C la perpendiculaire à AB, disons AH et AC*cos(BAC) c'est AH.
Regarde maintenant ton triangle et tu verras les projections sur AH qui sont les mêmes (on projette depuis la droite puis depuis la gauche)

[invite51d17075]

bonjour,
je pense qu'on peut faire plus simple que les cos.

pour la 1)
HA est perp à BC donc
HA.BC = 0 donc HA.(BH+HC)=HA.BH+HA.HC=0
soit HA.HB = HA.HC

pour la 2)
on peut ecrire en "passant par A'" :
HA.HB=HA.(HA'+A'B)=HA.HA'+HA.A 'B
hors HA.A'B=0 ( définition de A' )
donc HA.HB=HA.HA'
en decomposant vers B' on montre de même que
HA.HB=HB.HB' donc
HA.HA'=HB.HB' , mais on a pas vraiment besoin de la question 1) pour ça.