Suites appliquées à la géométrie
Bonjour, j'ai un DM à rendre et je bloque sur une question...
Soit ABCD un carré de coté 1 disposé comme cela: D C
A B
Soit I le milieu de [BC]
On considère la suite (Mn) de points de [AB] définie de la façon suivante:
- M0 est le point A
- pour tout entier naturel n, M(n+1) est le projeté orthogonal sur AB du point d'intersection des droites (CMn) et (DI)
Pour tout entier naturel n, on pose Un=AMn
1)a) démontrer que la suite Un est définie par U0=0
U(n+1)=2/(3-Un)
Je me suis placé dans un repère orthonormé et j'ai calculé l'abscisse du point d'intersection des droites (DI) et (CMn),
je trouve x=2/(3-Un) donc U(n+1)=2/(3-Un). Et U0=0 car U0=AM0=0, M0 étant confondu à A.
b)En utilisant un tableur ou une calculatrice, déterminer le plus petit entier naturel tel que 0.99<Un<1.
Je trouve 6.
2)Le but de cette question est de déterminer l'expression de Un en fonction de n.
Pour tout entier naturel n , on a U(n+1)=f(Un) où f est la fonction définie sur ]-infini;3[ par
f(x)=2/(3-x)
a) Démontrer que l'équation f(x)=x admet 2 solution réelles a et b que l'on précisera. Je trouve a=1 et b=2
b)Soit Vn la suite définie sur N par:
Vn=(Un-a)/(Un-b)
Démontrer que Vn est une suite géométrique et déterminer l'expression de Vn en fonction de n.
Pour démontrer que la suite est géométrique, j'ai fais V(n+1)/Vn et je trouve la raison r, 1/2.
J'ai déterminé Vn en fonction de n, je trouve Vn=1/[2^(n+1)]
En déduire que pour tout entier naturel n, Un=[2^(n+1)-2] / [2^(n+1)-1]. Pourriez vous m'aidez s'il vous plaît? Et pouvez vous aussi verifier l'exactitude de mes réponses?
Merci d'avance!
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