Exercices suites

[inviteb55a2a32]

Bonjour à tous,
Je m'entraine pour des exercices, et voici pour lequel; je rencontre des problèmes.

Pour chaque proposition, il y a exactement deux propositions correctes. Pur chaque proposition, justifiez si elle est vraie ou fausse. Toutes les questions sont indépendantes.

1. Les suites suivantes sont convergentes :
a. (2^n/n^2005)
b. ((2n+(-1)^n * racine de n)/n+1))
c. (n sin(1/n))
d. (racine de n/ln n)


2. On considère trois suites (un), (vn), (wn) ayant pour tout entier naturel n, les propriétés suivantes : un<(ou égal)vn<(ou égal)wn, lim(n->+infini) (un)= -1, lim(n->+infini) (wn)= 1
a. lim (n->+infini)vn=0
b. La suite (vn) est minorée
c. Pour n de N, on a -1<(ou égal)vn<(ou égal)1
d. On ne sait pas dire si la suite (vn) a une limite ou non.

3. Une suite (un) est définie sur N par : u0=1.5 et un+1=2un-1 ( pour tout entier naturel n)
a. La suite (un) converge vers 1, abscisse du point d’intersection des droites d’équation y=x et y=2x-1
b. La suite (vn) définie sur N par vn=un-1 est géométrique.
c. La suite (vn) est majorée
d. La suite (wn) définie sur N par wn=ln(un-1) est arithmétrique.

4. Deux suites (xn) et (yn) sont définies pour n>0 par les relations : xn=1/n+1/(n+1)+…+1/2n et yn=1/(n+1)+1(n+2)+…+1/2n
a. Les suites (xn) et (yn) sont toutes les deux croissantes.
b. X3= 19/20 et y3=37/60
c. Les suites (xn) et (yn) ne sont pas majorées.
d. Les suites (xn) et (yn) sont adjacentes.


La question 2, j'ai quelques problèmes, tout d'abord pour la a. Je trouve faux, il suffit de proposer un contre-exemple. Par contre, pour la b)c)d, je ne vois pas comment justifier, malgrès plusieurs tentatives, elles restent infructueuses, alors si vous pouviez me donner quelques conseils.
Merci d'avance.
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[Jeanpaul]

Fais un dessin : la courbe des v est coincée entre celle des u et celle des v. A partir d'un certain n, u est supérieur à -1,1 et w est inférieur à 1,1
Donc v est inférieur à 1,1 ou à toutes les valeurs précédentes, qui sont en nombre fini.
tu vois aussi que le v peut osciller librement entre u et w.
Si v=u, il peut très bien arriver que v ne soit jamais supérieur à -1

[invite6c8074bd]

pour la 2)a, on sait que vn est une suite réelle qui appartient à [-1,1], puisque lim un=-1 et limwn=1, alors limvn appartient à [-1,1]. cette dernière affirme que vn a une limite L fini (d faux), car si elle n'a pas de limite alors limvn=-+infini (ce qui est faux), on ne peut pas dire que limvn=0 puisque L peut avoir plusieurs valeurs dans [-1 1], pour vn elle est inférieure à 1 (car vn<wn<1 qq soit n) mais pour le reste je ne suis pas sûr. comment montrer que vn>-1?. si tu démontres ca tu peux trouver que Vn est minorée.

[inviteb55a2a32]

Merci pour votre aide. Mais j'ai encore un problème, je n'arrive pas à prouver que les suites (xn) et (yn) sont majorées, à la question 4)c).

[A voir en vidéo sur Futura]

[Jeanpaul]

Es-tu sûr qu'elles ne sont pas majorées ? Sur un dessin,on peut comparer la somme xn avec l'aire sous la courbe y = 1/x

[inviteb55a2a32]

Oui elles doivent être majorées, parce que pour cette questionn j'ai déjà trouvé deux vraies, donc cette réponse doit être fausse, et donc il faut prouver qu'elles le sont. Mais bon, je désespère de le trouver, je ne comprend pas.

[Jeanpaul]

Lesquelles sont justes, d'après toi ?

[Jeanpaul]

Elles sont majorées. Fais un dessin de la courbe y=1/x. Tu verras que 1/n est l'aire d'un petit rectangle de largeur 1 à gauche du point d'abscisse n qui est en-dessous de la courbe.
En additionnant tout cela, tu vas prouver que la somme de ces petits rectangles est inférieure à l'aire sous la courbe entre x=n et x=2n qui est facile à calculer et qui est finie. CQFD.

[invite6c8074bd]

tu peux poruver que xn et yn sont majoréesn=somme(0<=k<=n) 1/n+k et yn= somme(1<=k<=n) 1/n+k
on que n>=1 et k>=0 donc 1/n+k<=1/n (car n+k>=n) ainsi xn<=(n-0+1)/n=1+(1/n)<=1+1=2
pour yn, tu suit la même démarche tu trouves que yn<=(n-1+1)/n=1.
elles ne sont pas adjascntes car yn<=xn et xn est croissante (il faut que xn soit décroissante)