Dérivabilité en 0

[inviteeb39e3b0]

J'ai cherché un peu avant de m'adressez à vous;

Nous avons la fonction :



Dérivable en car

On cherche à étudier la dérivabilité de f en 0.

On a donc :



Soit :

Ce qui veux dire que f est dérivable en 0 ?
-----

[invite83f03d71]

oui car :

[Flyingsquirrel]

Nous avons la fonction :



Dérivable en car

Plutôt car est le produit de deux fonctions dérivables sur .

On cherche à étudier la dérivabilité de f en 0.

On a donc :



Soit :

Ce qui veux dire que f est dérivable en 0 ?

Oui.

oui car :

Tu voulais dire , non ?

[invite83f03d71]

Tu voulais dire , non ?

Non f'(x) n'est pas définie en zéro car

c'est bien

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteeb39e3b0]

Ce que je ne comprend pas c'est qu'on trouve f dérivable sur R+ privé de 0.
Puis en étudiant la dérivabilité de f en 0, on trouve que c'est finalement possible.

[invite83f03d71]

Ce que je ne comprend pas c'est qu'on trouve f dérivable sur R+ privé de 0.
Puis en étudiant la dérivabilité de f en 0, on trouve que c'est finalement possible.

C'est lié à la continuitée de la fonction f en 0.

[inviteeb39e3b0]

Et qu'elle interprétation graphique peut on en déduire ?

x=0 asymptote parallèle à (Oy) à Cf au voisinage de 0 ?

[invite9deac964]

pour qu'une fonction soit dérivable il faut que cette fonction soit dérivable à droite et à gauche de ce point et que les demis tengentes admettent le meme coefficient directeur ( c'est la définition meme de la dérivabilité en un point )

lim f(0+h)-f(0) = lim f(0+h)-f(0)
x->0+ ----------- x->0- -------------
h h

[invite9deac964]

désolé je n'arrive pas a utiliser latex il faut que la limite en 0+ et 0- de racine(h)*(h-5) soit la meme

[Flyingsquirrel]

Non f'(x) n'est pas définie en zéro car

Si, est définie en 0 car

C'est la définition même de .

c'est bien

Non.

Ce que je ne comprend pas c'est qu'on trouve f dérivable sur R+ privé de 0.
Puis en étudiant la dérivabilité de f en 0, on trouve que c'est finalement possible.

Tu noteras que quand on dit « est dérivable sur car c'est un produit d'une fonction polynomiale et de la fonction racine carrée qui sont toutes deux dérivables sur » on ne dit pas que n'est pas dérivable en 0. Peut-être est-ce le cas, peut-être pas. Pour le savoir il faut revenir à la définition de la dérivabilité et calculer

comme tu l'as fait.

C'est lié à la continuitée de la fonction f en 0.

Quel rapport avec la continuité de ?

désolé je n'arrive pas a utiliser latex il faut que la limite en 0+ et 0- de racine(h)*(h-5) soit la meme

Sauf que la limite en de cette expression n'a aucun sens à cause de la racine carrée.

[inviteeb39e3b0]

Car

[invite9deac964]

par définition f pas dérivable en 0 mais uniquement en 0+

[S321]

Non, ce n'est pas lié à sa continuité, certaines fonctions sont continues sans être dérivables. Comme f est défini seulement à droite de 0, on dit que f est dérivable en 0 si et seulement si elle est dérivable à droite en 0. J'insiste tout particulièrement sur la caractère suffisant de cette caractérisation.

En réalité nous montrons tout d'abord que la fonction est dérivable sur R₊^*, ce qui est très facile. Ce faisant nous n'avons rien démontré à propos de la fonction en 0, nous n'avons pas plus montré qu'elle y était dérivable que le contraire.

C'est seulement ensuite qu'on cherche à montrer que la fonction est dérivable en 0 car c'est un point douteux. Pour se faire il faut revenir à la définition du nombre dérivée en 0.
La quantité admet une limite finie lorsque h tend vers 0 (par valeur positives puisqu'il ne peut tendre vers 0 que par valeurs positives), nous appelons cette limite "nombre dérivée à f en 0" et nous la notons f'(0), on dit de plus que f est dérivable en 0.
Comme f est dérivable en 0 et sur tous les réels strictement positifs, alors f est dérivable sur tous les réels positifs (plus de strictement ^^) et on peut définir la fonction dérivée à f qu'on note f' et qui associe à tout points le nombre dérivée à f en ce point.

Nous remarquons en plus que (je n'ai pas vérifié que c'était vrai, je le suppose, si c'est faux ne pas en tenir compte ^^) ce qui assure la continuité de f' en 0. Comme nous savons (d'après le cours) que f' est continue sur R₊^* on peut en déduire que f' est continue sur R₊ tout entier.
On dit alors que f est de classe C¹ sur R₊, c'est à dire dérivable dont la dérivée est continue.

P.S : J'ai fait plus que répondre à votre question, j'ai pensé que ça pouvait vous intéresser.

[inviteeb39e3b0]

Oui ça nous interesse. Donc cela nous a permit de prouver que f est dérivable sur R+.

Et que peut on en déduire graphiquement; f admet une tangente en (0;0); qui est l'axe des ordonnées ?

[invite9deac964]

Sauf que la limite en de cette expression n'a aucun sens à cause de la racine carrée.

Ben justement étant donnée qu'elle n'est pas dérivable en 0- mais en 0+ oui elle n'est donc pas dérivable en 0 (c'est la définition que l(on nous apprend en cours )

[hhh86]

tu voulais dire l'axe des abscisses ?

[invite83f03d71]

Oui ça nous interesse. Donc cela nous a permit de prouver que f est dérivable sur R+.

Et que peut on en déduire graphiquement; f admet une tangente en (0;0); qui est l'axe des ordonnées ?

tout à fait

Ben justement étant donnée qu'elle n'est pas dérivable en 0- mais en 0+ oui elle n'est donc pas dérivable en 0 (c'est la définition que l'on nous apprend en cours )

également d'accord:

c'est normal car le nombre dérivé correspond au coefficent directeur de la tangente
et comme elle est verticale elle ne possède pas de coefficient directeur
f n'est donc pas dérivable en 0

[inviteeb39e3b0]

tu voulais dire l'axe des abscisses ?

Exact, merci. Est-ce juste ?

[invite83f03d71]

Exact, merci. Est-ce juste ?

Non c'est bien l'axe des ordonnées.

[hhh86]

tout à fait



également d'accord:

c'est normal car le nombre dérivé correspond au coefficent directeur de la tangente
et comme elle est verticale elle ne possède pas de coefficient directeur
f n'est donc pas dérivable en 0

Non on vient de démontrer que la limite de son taux de variation en 0+ tend vers 0- donc la tangente est horizontal en 0 et pas vertical.

[inviteeb39e3b0]

Oui et cela colle à la courbe, ici c'est bien l'abscisse qui est la tangente en (0;0). L'axe des ordonnées est tangente en (0;0) à la courde de racine de x; d'où mon erreur.

[hhh86]

VP14, pour ne pas que tu t'embrouilles, lis uniquement les postes de Flyingsquirrel et S321. Eux au moins n'ont pas fait d'erreur et ce qu'ils ont marqué n'est pas incohérent.

Sinon c'est bien ça

[S321]

Non. Cette caractérisation n'est vrai que pour un point de l'intérieur de l'ensemble sur lequel vous étudiez la dérivabilité, pas en un point extrémal.
Ce n'est pas comme si le coefficient directeur à gauche avait une limite différente de f'(0) ou ne convergeait pas. Ce coefficient directeur n'existe pas, étudiez sa limite est simplement aberrant. C'est comme si je vous disais qu'une fonction tend vers 0 quand x tend vers +∞ et que vous disiez que c'est faux car la fonction ne tend vers 0 quand x tend vers +∞ par valeurs inférieures, mais pas par valeurs supérieures. C'est absurde.
Comme nous étudions la dérivabilité sur l'intervalle [0;+∞[, on considère qu'il n'existe pas de réels négatifs, pas plus qu'il n'existe de nombre plus grand que +∞.
La dérivabilité d'une fonction en 0 s'étudie sur des voisinages de 0 adapté au domaine de définition de la fonction.

Sinon vous pourriez tous aussi bien dire que ça ne marche pas non plus si h tend vers 0 par valeurs imaginaires pures (en fait si ça marche, mais la question n'est pas là ^^). Après tout il n'y a pas que les réels négatifs autour de 0.

VP14, vous avez démontré que f'(0)=0, c'est à dire une tangente horizontal. L'axe horizontal c'est celui des abscisses.
Une fonction dérivable en un point n'admet jamais de tangente verticale en ce point puisque le coefficient directeur d'une telle tangente serait +∞.

[hhh86]

Une fonction dérivable en un point n'admet jamais de tangente verticale en ce point puisque le coefficient directeur d'une telle tangente serait +∞.

ou -∞ (pour la limite du taux de variation)

En tout cas tes explications sont claires

[inviteeb39e3b0]

Si je résume cela donne :

Soit

Etudier la dérivabilité de f en 0.
Donner une interprétation graphique du résultat.

Par définition f est dérivable sur R+*, .

Etudions la dérivabilité de f en 0 :



Soit :

On a donc

f est donc dérivable en 0. Cf admet l'axe des abscisses comme tangente au point O(0;0).

[S321]

Yep, c'est tout à fait ça. Vous pourriez peut être rajouter dans la conclusion, avant l'interprétation graphique, que f est dérivable sur R₊ tout entier. Après tout vous l'avez démontré. Ce serait dommage qu'on croit que votre fonction est dérivable uniquement en 0 et nul part ailleurs (méfiez vous ça existe des fonctions continues partout et dérivable nulle part ^^).

[inviteeb39e3b0]

Yep, c'est tout à fait ça. Vous pourriez peut être rajouter dans la conclusion, avant l'interprétation graphique, que f est dérivable sur R₊ tout entier. Après tout vous l'avez démontré. Ce serait dommage qu'on croit que votre fonction est dérivable uniquement en 0 et nul part ailleurs (méfiez vous ça existe des fonctions continues partout et dérivable nulle part ^^).

Parfait je rajoute

Merci beaucoup à tous pour votre aide