Problème avec triangles

[invited406b32e]

Bonjour....

Est-ce que quelqu'un a un indice à me donner pour m'aider à résoudre ce problème svp ?

"Pour chaque entier strictement positif n , soit T(n) le nombre de triangles qui existent dont les longueurs des côtés sont des entiers, dont l'aire est positive et dont le périmètre est égal à n . Par exemple, T(6) = 1 , puisque le seul triangle de la sorte qui a un périmètre de 6 possède des côtés de longueurs 2, 2 et 2.

(a) Déterminer les valeurs de T(10) , T(11) et T(12).

(b) Soit m un entier positif supérieur ou égal à 3 , démontrer
que T(2m) = T(2m - 3) .

(c) Déterminer le plus petit entier positif n pour lequel
T(n) est supérieur à 2 010 .


Merci infiniment !
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[invited406b32e]

J'ai déjà déterminé que:

T(10) = 2 .... les côtés possibles sont (2;4;4) et (3;3;4)
T(11) = 4 .... les côtés possibles sont (1;5;5) (2;4;5) (3;3;5) et (3;4;4)
T(12) = 3 ... les côtés possibles sont (4;4;4) (5;5;2) et (3;4;5)

Pour démontrer la partie (b), je n'ai aucune idée comment procéder.....encore
moins pour la partie (c)

Est-ce que quelqu'un aurait un (des) indice(s) à me donner svp ?

Merci !

[invite29127426]

Salut,

Pour b), on peut peut-être essayer par récurrence :

Démontrons HR(m) : T(2m) = T(2m - 3) pour tout m >= 3 dans N

Hypothèse de récurrence au rang 3 :
T(2x3) = ...
T(2x3 - 3) = ...

Supposons HR(m) : T(2m) = T(2m - 3) pour tout m >= 3 dans N
Montrons que HR(m) => HR(m+1) : T(2m+2) = T(2m -1)

Calculons :
T(2(m+1)) = ...

En utilisant que: (m+1) >= 3 et appartient à N, le résultat est direct.
Tu peux poser m+1 = m' et dire m' >= 3 et appartient à N donc d'après ce que l'on a supposé ...

Bon courage pour le reste !

[invited406b32e]

(a) J'ai déjà déterminé T(10) = 4 , T(11) = 2 et T(12) = 3

(b) Pour cette partie, je ne suis pas certain comment démontrer.

(c) Pour cette partie, j'ai déjà vu que T(n) = [n²/48] si n est pair et
T(n) = [(n+3)²/48] si n est impair. Donc, je peux déterminer assez facilement que la plus petite valeur de n telle que T(n) > 2010 est
n = 309. Toutefois, je dois démontrer comment arriver à ces équations de T(n).
Je n'ai pas vraiment d'idée comment le faire.

Je vous remercie de votre précieuse collaboration !

Michel

[A voir en vidéo sur Futura]