Produit scalaire

invite3c23540d · 05/04/2010, 14h43

Bonjour à tous et merci. Je suis en première S.

on considère les points A(-4,5), B(-3,-2) et C(5,2)
1.Calculer les angles du triangle, on donnera une valeur approchée au degrè près.
2.Calculer les coordonnées de l'orthocentre H, du centre de gravité G et du centre du cercle circonscrit O du triangle ABC.
3. Ces trois points sont-ils alignés ?

Réponses : AC(9;-3) AB(-7;-7)
1.J'utilise la formule = xx' + yy'
AC.AB=(9*7)+(-3*-7)
AC.AB=-63+21
AC.AB=-42

Et donc j'utilise la formule cos(u,v)=u.v/||u||*||v||
Je trouve pour cos(AC,AB)=-42/-63*21
cos(AC,AB)=-42/-1323=88°
Mais ce n'est pas possible...car l'angle ne fait pas ça avec les coordonnées placés sur le plan...

Merci de votre aide !

**shokin** · 05/04/2010, 15h02

cos(AC,AB)=-42/-63*21

Comment trouves-tu ça ?

Je trouve cos(CAB) = 0.6.

Shokin

invite3c23540d · 05/04/2010, 15h12

Ah. Je fais Arccos(-42/(-63*21))=88.18...

invite3c23540d · 05/04/2010, 15h16

Envoyé par shokin

Comment trouves-tu ça ?

Je trouve cos(CAB) = 0.6.

Shokin

Comment trouves-tu cos(CAB)=0.6 ?

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**shokin** · 05/04/2010, 15h47

cos(u,v)=u.v/||u||*||v||

Le produit scalaire des vecteurs sur le produit des normes donne le cos de l'angle.

cos(CAB) = [1*9 + (-3)*(-3)]/[racine(10)*racine(90)]
cos(CAB) = 18/30 = 3/5

Shokin

invite3c23540d · 05/04/2010, 15h57

Ah, et d'où sors tu tes chiffres "[1*9 + (-3)*(-3)]/[racine(10)*racine(90)]" ?

De plus avec vérification sur le plan l'angle fait 63 et pas 53 :s

**shokin** · 05/04/2010, 16h29

Le vecteur AB est (1;-3).
Le vecteur AC est (9;-3).

racine(10) = racine(1² +(-3)²) = ||AB|||
racine(90) = racine(9² + (-3)²) = ||AC||

Pourtant, en vérifiant de plusieurs manières, je trouve 53.13 degrés.

Shokin

invite3c23540d · 05/04/2010, 16h32

Ah je vois votre erreur

AB(1;-7) et AC(9;-3)

**shokin** · 05/04/2010, 16h34

Mince ! je vois aussi : j'ai lu B(-3;2) au lieu de B(-3;-2). ça change tout.

As-tu réussi ton problème ?

Shokin

invite3c23540d · 05/04/2010, 16h48

Ah ^^ Et donc pour cos(CA,CB)=60/(racine90*racine80)

racine90*racine80 ça se simplifie en quoi ?

**shokin** · 05/04/2010, 16h51

Envoyé par titou22

racine90*racine80 ça se simplifie en quoi ?

Et ton algèbre ?

racine(90)*racine(80) = racine(7200)

= racine(3600*2)
= racine(3600)*racine(2)
= 60*racine(2)

Shokin

invite3c23540d · 05/04/2010, 16h55

lol Ca remonte à la 3ème ^^.

Eh bien maintenant il y'a la question 2 ^^ et là comment on procède ?

**shokin** · 05/04/2010, 17h11

Dans la question 2, il y a trois questions :

- les coordonnées de l'orthocentre
- les coordonnées du centre de gravité
- les coordonnées du centre du cercle circonscrit

Connais-tu ces trois points remarquables ?

As-tu déjà appris à les trouver, à calculer leurs coordonnées ?

Algébriquement, le centre de gravité est très facile à trouver.
Graphiquement, l'orthocentre et le centre du cercle circonscrit sont très faciles à dessiner dans cet exercice (avec une feuille quadrillée).

Shokin

invite3c23540d · 05/04/2010, 17h16

Eh bien justement on n'a fait aucun exercice ni leçon ou démonstration pour trouver ces trois démonstrations :s.

**shokin** · 05/04/2010, 17h21

Ce ne sont pas des démonstrations.

Ces trois points sont respectivement les points d'intersection de certaines droites remarquables. "hauteurs", "médianes", "médiatrices" et "bissectrices", ça te rappelle quelque chose ? lesquelles permettent de trouver l'orthocentre ? lesquelles permettent de trouver le centre de gravité ? lesquelles permettent de trouver le centre du cercle circonscrit ?

Dessine ton triangle sur une feuille quadrillée.

Shokin

invite3c23540d · 05/04/2010, 17h36

Ahhhh oui^^

Donc je viens de tracer ce fameux triangle, j'ai placé l'orthocentre à l'aide des hauteurs, je viens de placé le centre de gravité à l'aide des médianes et j'ai aussi placé le centre circonscrit O à l'aide des médiatrices

**shokin** · 05/04/2010, 17h39

Tiguidou ! si ta feuille est quadrillée, l'orthocentre et le centre du cercle circonscrit seront évidents car leurs coordonnées sont des nombres entiers.

Shokin

invite3c23540d · 05/04/2010, 17h48

Effectivement pour l'orthocentre H(-2;1) et pour le cercle circonscrit (0;2) mais dans la consigne il y a calculer donc il y'a des formules je ne sais pas ?

**shokin** · 05/04/2010, 18h04

Si vraiment tu dois calculer (comme si tu n'avais pas le droit de dessiner ta figure), il te faut calculer les équations des hauteurs, les équations des médiatrices, puis calculer leurs intersections respectives.

Shokin

invite3c23540d · 05/04/2010, 18h15

D'accord :

Recherche de l'équation de la hauteur issue de A, elle est perpendiculaire à BC. Le coefficient angulaire de la droite BC est m=5+3/2+2=2
Le coefficient angulaire issue de A est donc m'-1/2 Puisque le point A(4;5) appartient à la hauteur issue de A son équation est y-5=-1/2(x-4) <=> y=-1/2x+7

Recherche de l'équation de la hauteur issue de B, elle est perpendiculaire à AC. Le coefficient angulaire de la droite Ac est m = 5+4/2-5 = -3. Le coefficient angulaire issue de B est donc m'1/3. Puisque le point B(-3-2) appartient à la hauteur issue de B, son éuation est : y+2=1/3(x+3) <=> y=1/3-1 <=> x=3y+3

Je calcule le point d'intersection :

x=3y+3
y=-1/2x+7

x=3*(-1/2)+7=5.5
y=-1/2*3y+3+7=4

Or je trouve H(5.5;4) ce qui ne correspond pas avec le plan...

**shokin** · 05/04/2010, 18h25

Pour l'équation de la hauteur issue de A, je trouve y = -2x -3.
Pour l'équation de la hauteur issue de B, je trouve y = 3x + 7.

Essaie de voir où il y a eu erreur, puis de corriger le cas échéant.

Shokin

invite3c23540d · 05/04/2010, 18h42

Je ne vois pas où est mon erreur, j'ai relus mais rien !

Sinon avec tes équations : je trouve H(0;-3) et les vrais coordonnées sont H(0;-2) :s

invite3c23540d · 05/04/2010, 19h11

Néanmoins je trouve tes équations à l'aide de mon plan ^^

invite3c23540d · 05/04/2010, 19h32

Ah ça y est :
y=-2x-3
y-3x-7=0

-2x-3-3x-7=0 <=>-5x-10=0
y=-2x-3

y=1
x=-2

H(-2;1) ce qu'on retrouve sur le plan

Mais peux-tu me mettre une démonstration pour trouver une équation ?

invite3c23540d · 05/04/2010, 20h20

Pour le centre du cercle circonscrit je trouve (0;2) ce qui correspond mais pour le centre de gravité je prends comme équation y=x+1 et y=3/2x+5/2 et je trouve (-1;0) et ça ne correspond pas...

**shokin** · 05/04/2010, 21h35

Pour le centre du gravité, tu sais que :

Soit G le centre de gravité d'un triangle ABC.

=OG=> = 1/3 *(=OA=> + =OB=> + =OC=>)

En d'autre termes, les coordonnées de G sont respectivement les moyennes arithmétiques des coordonnées des sommets du triangle.

Mais peux-tu me mettre une démonstration pour trouver une équation ?

Que veux-tu démontrer ? quelle équation ?

Shokin

invite3c23540d · 06/04/2010, 11h31

Oui, bien pour l'orthocentre comment on trouve :

Pour l'équation de la hauteur issue de A, y=-2x-3
Pour l'équation de la hauteur issue de B, y=3x+7

Car de là après j'y arrive en faisant comme ça :

y=-2x-3
y=3x+7

y=-2x-3
y-3x-7=0

y=-2x-3
2x-3-3x-7=0

y=-2x-3
-5x-10=0

y=1
x=-2

H(-2;1) et ça coïncide exactement avec le plan. Donc ma question est comment as-tu fait pour trouver l'équation des deux hauteurs ? (sans lire graphiquement)

**shokin** · 09/04/2010, 16h21

Envoyé par titou22

Donc ma question est comment as-tu fait pour trouver l'équation des deux hauteurs ? (sans lire graphiquement)

1. Tu trouves le vecteur directeur d'un côté, pour trouver ensuite trouver le vecteur directeur de sa hauteur, sachant qu'elle est, par définition, orthogonale à ce côté. Sais-tu comment faire ? Puis tu trouves l'équation cartésienne de cette droite, à l'aide de son vecteur directeur et d'un point (le sommet notamment) sur cette droite.

Truc : Dans le plan, pour comprendre le "lien algébrique" entre deux vecteurs orthogonaux, trouves-en plusieurs paires, observe-les. Rappelle-toi que tu peux aussi chercher le vecteur "irréductible" (par analogie à fraction irréductible ; =(4;6)=> est un vecteur simplifiable par =(2;3)=>.).

Shokin

Produit scalaire