[Term S] Fonctions et suites

[invite166c4128]

Bonjour, voilà j'ai un petit problème où je bloque. Je vous donne l'énoncé en entier :

Donc la question 1) pas de pb, c'est pour la question 2) que je bloque. J'ai déjà écrit ça :

Est-ce que quelqu'un peut m'aider pour cette démo des suites, je galère... Merci d'avance !
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[invite9deac964]

c'est tres simple :

On a compris clairement entre 0 et 1
hypothese de récurence compris entre 0 et 1
deplus tu applique la fonction et c'est terminé

bon pour la 3 et 4 pas de probleme je suppose

[invite166c4128]

merci pour ton indication
Je vais essayer ça...

Oui pour la 3 et 4 normalement pas de problème !

[invite166c4128]

Alors j'ai trouvé : (les < et > seront des supérieur ou égal et des inférieur ou égal)

0 < u_n < 1

Or u_n+1 = f(u_n+1)
D'après le tableau de variation, 0 < f(x) < 1
donc 0 < f(u_n+1) < 1
0 < u_n+1 < 1

Et là je suis bloqué, parce que nous on veut : 0 < u_n < 1
et moi c'est u_n+1 que j'ai

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite166c4128]

et puis j'ai regarder la suite, et je suis bloqué aussi... Je croyais que ce serait plus facile.

Pour la 3), j'ai fait
u_n+1-u_n = sqrt(2u_n-u_n²) -u_n

<=> u_n+1 = f(u_n). Puis j'ai dit que 0 < u_n+1 < 1
alors u_n+1-u_n > 0 donc la suite est croissante mais je ne pense pas que cette justification suffise.

Et pour la 4), pas d'idée. J'ai essayer de voir si on ne pouvait pas utiliser le théorème des gendarmes... Où alors la fonction.. Mais rien nada

Merci de m'aider

Bonne journée

[invitee4ef379f]

Pour la 3), j'ai fait
u_n+1-u_n = sqrt(2u_n-u_n²) -u_n

<=> u_n+1 = f(u_n). Puis j'ai dit que 0 < u_n+1 < 1
alors u_n+1-u_n > 0 donc la suite est croissante mais je ne pense pas que cette justification suffise.

Je n'ai pas très bien compris ton raisonnement... Toujours est-il que pour étudier le sens de variation d'une suite du type U_n+1 = f(U[n]), tu as trois manières de raisonner.

La première, celle que l'on utilise le plus souvent, c'est de regarder le signe de U_n+1-U_n; ceci revient ici à étudier le signe de sqrt(2U_n-U_n²)-U_n, ce qui n'est pas aisé comme tu as dû le remarquer.

La seconde, puisque les termes de ta suite sont toujours positifs, c'est d'étudier la valeur de U_n+1/U_n par rapport à 1. Dans le cas présent c'est tout de suite beaucoup plus facile.

Enfin, tu peux aussi regarder le sens de variation de la fonction f sur l'intervalle qui t'intéresse; puisque U_n+1=f(U_n) tu en déduis tout de suite le sens de variation de ta suite.


Pour la question 4 tu vas avoir besoin du résultat de la question 3. Il n'empêche que la manière la plus simple de montrer qu'une suite est convergente, c'est de montrer qu'elle est monotone et bornée.

Bon courage!

[invite166c4128]

merci, j'ai réussi à m'en sortir ! merci pour toutes vos réponses à tous