Enigme:Nombre de quadrilatéres avec n points

[invite6594d49a]

Bonjour,

On a n points non alignés , combien de quadrilatères peut-on former ?

Ma réponse (incomplète,j'ai pas réussis à tous trouver):

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J'appelle Nq le nombre de quadrilatères
D'abord je me suis dit:"C'est simple,c'est juste "trouver 4 parties dans un ensemble à n éléments"->Nq =
Ensuite j'ai essayé les cas:
(n=1,2,3->Nq=0)

n=4:
2 choix:
Soit les points forment un quadrilatère convexe directement:Nq = 1


Soit les points forment un quadrilatère concave (enfin plutôt 3):Nq = 3

(dur à imaginer,essayez de le faire sur une feuille)
Ainsi j'ai déduit mes premières formules : Nq = ou Nq=(n-1)!/2 (totalement empirique la deuxième,la première étant logique pour ce cas)
n=5:
Grâce à la remarque ci dessus que si un point est situé dans un triangle formé par les autres points,le nombre de quadrilatères augmente.
Donc,déjà pour des points formants un polygone convexe -> Nq = [tex]{n \choose 4} (qui est aussi le nombre minimum de quadrilatères donc pour n points)

Sinon ca se complique.....

Mais j'ai fait une autre remarque ensuite (une petite révélation):
Le nombre d'intersections entre toutes les droites formées par tout les points donnent le nombre de quadrilatères

Celà donne même le nom des quadrilatéres si l'on regarde de plus prés (c'est en fait l'intersection des diagonales)
Les intersections sont seulements entres segments et droites ,pour éviter ce cas qui ne forme pas un quadrilatère:

Bon c'est tout ce que j'ai pour l'instant,je continue à chercher!
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[Gawel]

C'est marrant, je voyais ça plutôt comme des statistiques...

Si je considère points () nommés A₁, A₂, ... A_n,

| , A_x, A_y et A_z ne sont pas alignés

A partir de là, la définition d'un quadrilatère étant "figure géométrique fermée à 4 côtés"

J'imagine en fait une combinaison de 4 points choisis au hasard (sans remise) parmi les n points existant
Soit
Q_n =

Soit pour n = 8
Q₈ = = 70

[Gawel]

Pour être encore plus pointilleux, il faudrait rentrer en compte le fait qu'il y a un ordre de tirage (qui donne 3 quadrilatères pour 4 points placés comme dans ton 2e exemple)

Du coup, on arrive plutôt sur des Arrangements...

Mais ça ne marche pas si on est dans ton premier exemple... ?
désolé pas trop le temps de me pencher davantage sur le problème

[Gawel]

Petite erreur d'inattention que je corrige, x, y et z sont compris entre 1 et n(sup à 4)

Si je considère points () nommés A₁, A₂, ... A_n,

| , A_x, A_y et A_z ne sont pas alignés

[A voir en vidéo sur Futura]

[Plume d'Oeuf]

Bonjour,

Je n'avais pas pensé aux quadrilatères convexes... Et les croisés? En se référant à ta première figure, on peut définir un quadrilatère convexe ABCD et un quadrilatère croisé ABDC. Reste à savoir si le quadrilatère croisé ADBC est considéré comme différent de ABDC?

Auquel cas on pourrait dénombrer 6 cas possibles pour 4 points du plan non alignés.

Est ce qu'en jouant sur le nombre de permutations possible des 4 lettres sans se retrouver dans le même ordre on ne peut pas établir une formule générale? (je n'en sais rien, je ne fais que suggérer)

Mais j'ai fait une autre remarque ensuite (une petite révélation):
Le nombre d'intersections entre toutes les droites formées par tout les points donnent le nombre de quadrilatères

Ces points d'intersections sont les points d'intersection des diagonales donc. Cependant en prenant les quadrilatères croisés en compte, cette remarque n'est plus vérifiée...

[invite6594d49a]

@Plume d'Oeuf:Je ne prend pas en compte les quadrilatéres croisés
@Gawel_UTBM:L'exo provient d'un chapitre sur les stats (loi de prob) donc je pense qu'il faut utiliser les combinaisons.Juste avant il fallait compter le nombre de droites passant par deux de ces points.

Personnelement,je vois plus une erreur de l'enoncé (oublie de dire que les quadrilatéres sont convexe qu'autre chose),mais mon prof à l'air de vouloir la réponse quand même^^

[Plume d'Oeuf]

Un quadrilatère croisé est un quadrilatère dont les côtés se croisent; i.e les diagonales sont à l'extérieur dudit quadrilatère.

Dans ta première figure, ABDC en est un (une petite recherche sur google et tu trouves tout de suite )

[invite6594d49a]

Oui,je savais:"Je ne prend pas en compte les quadrilatéres croisés"->que des non-croisés
Le probléme n'a pas de solutions direct (cela dépend du placement des points) mais on peut l'encadrer
J'en ai déduit rapidement que (car il y a au maximum 3 possibilité pour chaque quadrilatères)

Voilà mes déductions (presque) finales

[Plume d'Oeuf]

Oups pardon j'avais mal lu ton message #6.

[Gawel]

pour 4 points du plan non alignés

oubli de précision de ma part, bien entendu que mes premiers messages évoquent des points dans un même plan !

@Plume d'Oeuf:Je ne prend pas en compte les quadrilatéres croisés

[...]

Personnelement,je vois plus une erreur de l'enoncé (oublie de dire que les quadrilatéres sont convexe qu'autre chose),mais mon prof à l'air de vouloir la réponse quand même^^

D'un point de vue statistique, c'est bien plus simple de ne pas faire d'exception et de considérer des points comme des données d'entrée, sans chercher à savoir s'ils forment un quadrilatère conventionnel, croisé ou convexe...
Sinon, tu te retrouveras avec une formule dépendante des positions relatives de chacun des points... (et ça, c'est pas les stats qui pourront y répondre...)

Non par contre, l'autre question, c'est si j'ai un quadrilatère ABCD, est-ce qu'il est différent du quadrilatère BCDA ?
(parce qu'autant, les croisés, les convexes, sont des figures différentes utilisant les mêmes points, autant la définition du point de départ ne modifie pas la géométrie !)

[invite6594d49a]

Dans la 2éme figure ABCD est different de BCDA mais pas dans la premiére figure

[Gawel]

Dans la 2éme figure ABCD est different de BCDA mais pas dans la premiére figure

Pas plus dans un cas que dans l'autre (trace les 4 figures tu veras )

[invite6594d49a]

Désolé,j'avais mal regardé,bien sur que c'est les même (on compte chaque quadrilatére par chaque notation de quadrilatére)

[Gawel]

Désolé,j'avais mal regardé,bien sur que c'est les même (on compte chaque quadrilatére par chaque notation de quadrilatére)

désolé pour le temps de réaction, ce fil m'était passé inaperçu !

Donc, si pour chaque notation, tu as un quadrilatère différent (même si géométriquement, la figure est la même), alors tu peux faire une étude statistique, avec le calcul du nombre de "Trajets" possibles entre 4 points sans passer 2 fois par le même point, et en tenant compte de l'ordre de passage (ABCD est différent de ACBD) !