Fonction exponentielle, Primitives, Intégrales

[invitee7b07b2b]

A
Dans cette partie, on étudie principalement les variations d'une fonction f et on trace sa courbe représentative.
Soit f la fonction définie, sur IR,par f(x) = 4eX / eX + 1
On désigne par C la courbe représentative de f dans un r.o.n.

1.determiner les limites de f(x) quand x tend vers -infini, puis quand x tend vers +infini. En déduire les droites asymptotes à C .

2. Etudier les variations de f et dresser son tableau de variation.

3. Calculer [f(x)+f(-x)]/2 et en deduire que le point d'intersection A de C et de l'axe des ordonnées est centre de symétrie pour C.

4. Donner une équation de la tangente à C en A.

5. Tracer sur un même graphique : C, sa tangente au point A et ses droites asymptotes.

Si quelq'un peut m'aider, s'il vous plait, je comprends rien à cet exercice ! je n'arrive à rien. Les limites je comprend pas j'y arrive seule face à la copie :s
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[invitee4ef379f]

Bonjour,

La limite en est triviale. N'oublie pas que:



En , il faut faire une analogie avec les fractions rationnelles et factoriser le numérateur et le dénominateur par afin de simplifier le quotient.

Bon courage!

[invitee7b07b2b]

Qu'est-ce que tu appelles analogie avec fractions rationnelles ?

[invitee4ef379f]

Les fractions rationnelles sont des quotients de polynômes. Pour chercher leurs limites à l'infini, il faut toujours factoriser par le terme de plus haut degré.

C'est un peu ce qu'il faut faire là en puisqu'il faut factoriser le dénominateur de f par e^x pour simplifier le quotient et ainsi obtenir une forme dont on peut caculer la limite en aisément.

Bon courage!

[A voir en vidéo sur Futura]

[mag88]

Salut,

4e^x/(e^x+1)=4/(1+1/e^x)
(en divisant en haut et en bas par e^x)

[invitee4ef379f]

Voilà,

Quelles est la limite de f en ?

[invitee7b07b2b]

si mes calculs sont bon , cette limite vaut 4 ??? vu que le denominateur tend vers 1. ??

[invitee7b07b2b]

et pour la dérivée, elle vaut bien [4x exp(x)] / [ (exp(x)+1)au carré ] ??
car je fais toujours des erreurs dans la dérivée et ça fausse tout le reste.

[invitee4ef379f]

Oui la limite en vaut bien 4.

Pour la dérivée tu t'es trompée au numérateur!

Bon courage!

[invitee7b07b2b]

je me disais bien ! j'aurais étonnée de la trouver du premier coup !
c'est (4 exp (x) ) / ( (exp(x) + 1)au carré ) ?

[invitee7b07b2b]

la calculatrice n'a pas l'air d'accord ? Je me suis encore trompée non ?

[invitee4ef379f]

C'est bien ça !!

[invitee7b07b2b]

comment ce fait-il alors que vers 1 la courbe de la dérivée décroisse alors que la courbe de la fonction continue continue de monter ??

[invitee7b07b2b]

je n'ai rien di !! lol
C'est bon !
Pour l'ensuite, le calcul qu'il demande, je crois que je me suis perdue dans les exponentielles ! car je trouve 2 ! alors que je devrais trouver 0 par logique avec la suite !

[invitee4ef379f]

comment ce fait-il alors que vers 1 la courbe de la dérivée décroisse alors que la courbe de la fonction continue continue de monter ??

Hein??

La question qui t'es posée, c'est d'étudier les variations de f.

On sait que f va croître si sa dérivée est positive, et décroître si sa dérivée est négative.

Pourquoi parles-tu des variations de la dérivée?


Il faudrait étudier le signe de la dérivée seconde de f, soit f''(x), pour trouver les variations de f'.

De plus, rien ne s'oppose à ce que la dérivée d'une fonction décroisse alors que la fonction elle même croît, du moment que le signe de la dérivée est toujours positif.


En l'occurrence ici quel est le signe de la dérivée de f? Comment varie la fonction f?

[invitee7b07b2b]

oui oui , je m'en suis rendue compte en le faisant que j'ai posé une question débile ! c'est moi ! lol
j'ai trouvé que la dérivée était positive donc que f etait croissante sur -infini à +infini de 1 à 4.
ensuite, le calcul qu'il demande, je crois que je me suis perdue dans les exponentielles ! car je trouve 2 ! alors que je devrais trouver 0 par logique avec la suite ! :s

[invitee4ef379f]

Non non tu ne t'es pas trompée, c'est bien 2 qu'il faut trouver, autrement dit:



Il aurait été logique de trouver 0 si le centre du repère avait été centre de symétrie de la courbe, car on aurait alors une fonction impaire avec:


Or ce qu'on te demande de montrer, ce n'est pas que O(0;0) est centre de symétrie de la courbe, mais que A(0;f(0)) = A(0;2) l'est!

Tu as donc:



Qu'en déduire?

[invitee7b07b2b]

ah oui... j'avais pas vu ça comme ça non plus ! on en deduit ensuite que A(0;2) est le centre de symétrie de la courbe C .
La suite j'ai reussi à la faire merci !!

[invitee7b07b2b]

Il y a une autre partie à cet exercice,

1. Soit F la primitive de f sur IR qui s'annule pour x=0 et soit T sa courbe représentative dans un r.o.n (omega, vecteur i, vecteur j)
Quel est le sens de variation de F ?
2. Expliciter F(x), pour tout réel.
3.a. Déterminer les limites de F(x) quand x tend vers -infini, puis quand x tend vers +infini.
b. En déduire l'existence d'une asymptote horizontale à T.
c. démontrer que la droite DELTA d'equation y= 4x -4ln2 est asymptote à T.
4. Résumer les résultats précédents que exp(x) + 1 = exp(x) (1-exp(-x).

1. F est croissante vu que f(x) est positive !
2. Là je sèche, car f(x) est un produite de deux fonctions, donc je dois l'integrer par parties mais je suis gênée par l'absence du symbole de l'intégrale :s

[invitee4ef379f]

C'est là qu'il faut connaître son cours.

Quelle est la définition d'une primitive? Comment alors déterminer les bornes de l'intégrale?

[invitee4ef379f]

Cependant je n'arrive pas à voir comment cette foutue primitive peut-elle s'annuler en x=0. Pour moi c'est sa limite en qui est nulle. Un coup de pouce quelqu'un?

[invitee4ef379f]

Cependant je n'arrive pas à voir comment cette foutue primitive peut-elle s'annuler en x=0. Pour moi c'est sa limite en qui est nulle. Un coup de pouce quelqu'un?

Ouais bon pardon c'est bon, un court circuit dans mon cerveau sans doute.

[invitee4ef379f]

2. Là je sèche, car f(x) est un produite de deux fonctions, donc je dois l'integrer par parties mais je suis gênée par l'absence du symbole de l'intégrale :s

Autre chose: il va falloir être astucieux sur cette primitive; si tu te lances dans une intégration par parties tu risques de ne pas t'en sortir.

Que peux tu remarquer de particulier entre le numérateur et le dénominateur?

[invitee7b07b2b]

Les bornes de l'intégrale sont les bornes de l'intervalle sur lequel f est définie donc -infini +infini.
Pour le dénominateur et le numérateur, je factorise par exp(x) non ?

[invitee4ef379f]

Non ce n'est pas exactement ca.

f est une fonction définie sur un certain intervalle I.

F est une primitive de f si F'(x) = f(x). Cependant, il existe une infinité de primitives à f, toutes les mêmes à une constante près.

Une primitive particulière de f est définie comme étant l'intégrale de f entre a et x, où a est une valeur particulière pour laquelle F(a) = 0.




Sachant cela, et au vu de ton énoncé, quelles sont les bornes de ton intégrale?



Maintenant, autant dériver une fonction continue est une opération relativement aisée, autant l'intégrer peut vite devenir un vrai calvaire.

Pour intégrer une fonction, il est préférable d'avoir une certaine intuition de si oui ou non ce que l'on fait va aboutir à quelque chose -- ce qui s'acquiert avec l'expérience.

Soit la fonction est simple, auquel cas on fonce tête baissée dans le calcul et on trouve une primitive, soit elle est compliquée et là, tintin!

Un bon réflexe à adopter avant même de se lancer dans une intégration par parties, c'est de regarder si la fonction n'est pas une dérivée (un peu) moins évidente.



Par exemple:
f(x) = x.e^x2
f(x) = 1/2 * (2x.e^x2)
On remarque tout de suite que f est la dérivée de e^x2', à une constante près. L'intégration par parties est inutile.


f(x) = (2x+7)/(x²+7x -12)
En posant u(x) = (x²+7x -12), il vient u'(x) = (2x+7).
Et donc f(x) = u'(x)/u(x); ceci n'est rien d'autre qu'une dérivée connue.


f(x) = 9x⁴/(4x⁵-3)²
f(x) est à une constante multiplicative près de la forme u'/u².

Etc, etc.


A bon entendeur...

[invitee7b07b2b]

ah oui ! effectivement ! on voit le manque d'expérience, dans notre cas f est comme ton 3e exemple, de la forme u'/u ce qui donne ln u +C.
donc F(x) = 4ln(x+1) non?!
Mais je ne vois pas comment F(x)= 0 à une certaine valeur ! c'est impossible vu que exp(x)>0 !

[invitee4ef379f]

En effet, et si tu remontes de quelques messages tu verras que j'ai eu la même réflexion.

C'est là que la constante d'intégration prend son toute son importance!

dans notre cas f est comme ton 3e exemple, de la forme u'/u ce qui donne ln u +C.
donc F(x) = 4ln(x+1) non?!

Tu dis que "ca donne ln u +C" , puis que F(x) = 4ln(x+1). Où est passée la constante dans l'histoire?

On te dit dans l'énoncé que F est LA primitive de f qui s'annule en 0; pas que F est UNE primitive de F... Autrement dit la constante a une valeur précise, qu'on ne peut pas se permettre de choisir arbitrairement!

[invitee7b07b2b]

je suis donc obliger de l'appeler C non ?

[invitee4ef379f]

Eh bien au départ oui:

F(x) = ln(...) +C

Mais ensuite il faut la déterminer. Comment fais tu?

[invitee7b07b2b]

ahh ! grace à au fait que F(0)=0 !! non ?