probléme de statistique

[invite5dc833d3]

bonjours à tous

alors voila j'ai un problème de statistique que j'ai du mal a comprendre.

Problème :

lors d'un jeu télé (par exemple) on me demande de choisir entre 3 boites, l'une des 3 boites est gagnante.
Je choisis donc une boite au hasard, je ne sais pas si celle gagnante.

Là le présentateur, retire une des deux boites perdantes (qui n'est pas la mienne), et me propose de changé de boite.

Est se que j'ai plus de chance en changeant ou en gardant la même boite ????

mon prof de math m'as dit qu'il fallait changer car cela faisait changer ma probabilité de 1/3 en 1/2
me disant que si je ne changeais pas je ne prenais en compte l'information donné par le retrait de la boite.


est bien vrais ?????
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[S321]

Non, c'est faux. Le présentateur ne peut effectivement pas retirer la boite gagnante ce qui t'apporte donc une information. Mais il est impossible de l'exploiter. Avoir la possibilité de changer de boite revient à avoir le choix entre chacune des deux boites restantes.
L'une de ces deux boites est gagnante, l'autre perdante. Vous avez alors une chance sur deux de gagner.

En réalité quoi quel que soit votre premier choix et votre second choix vous aurez une chance sur deux de gagner. Comme le présentateur va retirer une des boites perdantes, c'est comme s'il n'y avait que deux boites en tout. Une gagnante et une perdante.

Ça se voit très bien si on fait un arbre.

[S321]

Voici l'arbre en question :


On note G si on choisi la boite gagnante et P pour une des boites perdante.
On a considéré pour construire l'arbre qu'on choisissait aléatoirement de changer ou non de boite, en fait ça n'a pas grande importance.
Si on force le fait de changer de boite au deuxième choix on est soit dans la configuration (G,P) soit dans (P,G). La deuxième est deux fois plus probable que la première donc on a deux chances sur trois de passer de perdant à gagnant et seulement une chance sur trois de passer de gagnant à perdant.

Si maintenant on ne fait pas le changement on est dans la configuration (P,P) ou (G,G). La première à deux fois plus de chance de se produire que la seconde soit deux chance sur trois de perdre et seulement une chance sur trois de gagner.

J'en conclu donc que je me suis complètement trompé dans mon premier post (sauf sur le fait que ça se voit bien sur un arbre... encore faut il le faire ). Comme te l'affirme ton prof, il est effectivement préférable de changer de boite.

[invite5dc833d3]

ha oui avec un arbre je comprend mieu c'est vrai j'aurais du y pensé

je te remercie

[A voir en vidéo sur Futura]

[S321]

Il faut toujours faire des arbres !
Visiblement il vaut mieux éviter de tenter des interprétations bidons pour expliquer le résultat de manière informelle. Je pense l'avoir assez bien montré, nous avons en général une assez mauvaise intuition des probabilités alors que nous possédons des outils formels puissants pour les étudier.

[SchliesseB]

c'est un "paradoxe" très connu.

une interprétation sans arbre (même si ça revient au même...):
Si j'ai choisi une mauvaise boite en 1er choix (2/3),j'aurai juste si je change.
Si j'ai choisi la bonne boîte en 1er choix (1/3), j'aurai faux si je change.

au final, vaux mieux changer car dans ce cas, j'ai 2 boites gagnantes au début!