Etude de fonction simple, mais blocage

[invite2ee4bcad]

BONJOUR !

J'ai un exercice à faire pour la rentrée et je bloque. Merci de votre aide !

Soit f la fonction définie sur par :

f(x)= 6 cos ( (4/3)x + (5Pi)/6 )

• Etudier les variations de f sur I = [0; (3Pi)/2 ].

Bon, il est inutile d'étudier la parité de cette fonction car l'intervalle d'étude n'est pas symétrique par rapport à 0.

Ensuite, j'ai voulu étudier la périodicité de cette fonction. D'après ma calculatrice elle est périodique. D'après les calculs j'ai :

f(x+2 Pi)= 6 cos ( (4/3)(x+2) + (5/6) )
f(x+2 Pi) = 6 cos ( (4/3)x + (8/3) + (5/6) )
f(x+2 Pi) = 6 cos ( (4/3)x + (21/6) )
f(x+2 Pi) = 6 cos ( (4/3)x + (7/2) )

A partir de là, que suis-je sensée faire, suis-je sur la bonne voie ?


Aidez moi, Merci d'avance !
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[Plume d'Oeuf]

Bonjour,

Je crois que tu cherches ta période de la mauvaise manière.


Ta fonction est:




Or la fonction cosinus est périodique de période :
(k réel)


Appelons T la période de ta fonction f. Tu cherches donc T telle que:




Dans ces conditions quelle est ta période?

Bon courage!

[invite2ee4bcad]

Je ne vois pas comment vous passez de ( (4(x+kT)/3) + (5/6) )
à ( (4/3) + (5/6) + 2k).

Je sais que T=2, mais même en y réfléchissant bien, je retombe toujours sur le même résultat =S

[Plume d'Oeuf]

Non justement, T n'est pas égale à .

La fonction cos(x) a pour période ; pas la fonction f que tu nous donnes: f n'est pas égale à cos(x), pourquoi leur période serait-elle la même? Il n'y a à priori aucune raison!


Mon raisonnement est le suivant. Posons:


Alors:




Or:
(k réel)


Donc:

(1)


La période T de ta fonction doit vérifier (k réel):



Autrement dit:




Donc d'après (1):



Ce qui m'amène à la question: quelle est la période de ta fonction?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite2ee4bcad]

Au risque de dire une énormité : la période c'est 24 ?

[invite2ee4bcad]

Aidez moi s'il vous plait !

[Plume d'Oeuf]

Non ce n'est pas ça. Essaye de reprendre et de comprendre mon dernier message, il y a tout dedans.

Ensuite, si (k entier relatif):



Comment trouves tu T?


NB: dans mes précédents posts, k est un entier relatif, pas un réel, désolé.

[invite2ee4bcad]

Le x me dérange.

Moi je pensais qu'on faisait :

0 > 4x/3 + 5Pi/6 + k2Pi > 3Pi/2

Et qu'on résolvait simplement l'inéquation. Pour chercher k.

[Plume d'Oeuf]

Ce n'est pas k qu'on cherche, mais T! A la limite prends k = 1, ca te permettra de le supprimer des équations ci dessus.

[invite2ee4bcad]

T= 6 ?

Si c'est pas ça, j'suis perdue pour de bon ...

[Plume d'Oeuf]

Tu devrais vraiment essayer de comprendre la méthode que je t'ai donnée pour trouver la période; d'autant plus qu'elle n'est pas si difficile que ca: il faut juste voir que c'est cos(x) qui a une période de , et que cos(autrechose) n'a à priori pas de raison d'avoir une période de .

On arrive à:




Les deux cosinus sont égaux, donc ce qu'ils contiennent aussi*:



Non?

Que vaut T?



*modulo , (k entier relatif), pour les puristes

[invite2ee4bcad]

T=3/2 ??

Si c'est ça, c'est ce que j'avais fait tout à l'heure mais au lieu de diviser par 4 j'ai fais une erreur et j'ai multiplié ... c'est pour ça que j'ai trouvé 24 tout à l'heure.

[Plume d'Oeuf]

C'est ça!!

Et c'est bien différent de . Si tu as un doute, tu peux vérifier que f(x+T) = f(x).

[invite2ee4bcad]

Merci beaucoup !

Et aussi, pour calculer la dérivée, je suis sensée trouver f'(x)= -8sin( (4x)/3 + (5)/6 )

Mais pourquoi " 8 " ?

[Plume d'Oeuf]

Tu mettrais quoi à la place de 8?

N'oublie pas que tu ne dérives pas cos(x), mais cos(u(x)) où u est une fonction de x.

[invite2ee4bcad]

donc je dois dériver ce qu'il y a à l'intérieur de la parenthèse ?

[Plume d'Oeuf]

Bah.... un peu quand même! C'est ce qui s'appelle dériver une fonction composée, non?

[invite2ee4bcad]

XD ça me dit rien mais j'vais essayer. j'utilise (f'g-fg')/g² ? dans ce cas ça me donne rien Je sais que c'est pas normal, mais là j'vois pas ! j'utilise la bonne formule au moins ou pas ? =|

[Plume d'Oeuf]

Pourquoi utiliser cette formule là? C'est la formule de la dérivée d'un quotient, il n'y a pas de quotient là, si?

Ta fonction est un cosinus, il faut utiliser la dérivée d'un cosinus.

Seulement la formule (cos(x))' = -sin(x) fonctionne si c'est effectivement "x", ET "x" TOUT SEUL, dont on prend le cosinus!! Que se passe-t-il si on prend le cosinus d'une fonction de x, soit cos(u(x))!?

Remarque: ce que je dis là est valable pour toutes les formules des dérivées que tu as pu apprendre; elles ne sont exactes que si elles contiennent "x" TOUT SEUL, et non pas une fonction de x!!!

[invite2ee4bcad]

Donc Si F(x) = u(ax + b), F'(x) = au'(ax+b) a,b réels quelconques
Ici a =4/3 et b=5/6
Après ya qu'à multiplier par 6, ce qui donne -8sin(ax+b). OKAY ! MERCI !

[Plume d'Oeuf]

De rien, bonne continuation