dm complexe barycentre

[invited51bba85]

bonjour ...
1/ cas particulier :
données : G barycentre des points (A, vyt), (B, uyt) et (C,xut)
2/ cas général :
soit ABC un triangle ; u,v,t,z,x et y 6 réels strictement positifs tels que xuz = yvt
M est le barycentre des points (B,y) et (C,x)
N est le barycentre des points (A,v) et (B, u)
P est le barycentre des points (A,z) et (C,t)
Démontrer que les droites (AM) (CN) et (PB) sont concourantes en vous inspirant de la partie 1.

Le problème c'est que je ne sais point comment faire et de plus, je ne sais pas s'il faut réutiliser les données de la première partie ou pas vu que ici on est dans un cas général

merci d'avance
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[invitea3eb043e]

Si on te présente le point G, c'est que, très probablement, c'est lui, le point d'intersection de AM, CN et BP !
Alors tu écris la relation donnant le vecteur OG (pas compliqué : pour les barycentres, il n'y a qu'une formule). O est une origine n'importe où.
Et tu te demandes si, par hasard, G ne serait pas sur AM. Cela voudrait dire que G est le barycentre de A, avec un poids inconnu et de M avec des poids y et x respectivement., donc que OG s'écrit comme X OA + Y (y OB + x OC) où X et Y sont des grandeurs à préciser. Ce qui est important c'est que dans la parenthèse, on ait bien cette combinaison de y OB + x OC
Et, miracle, tu verras que c'est possible avec l'expression de OG précédente.
Tu rebelotes avec une combinaison de OB et OP et ça marche encore ! Et enfin avec OC et ON.

[invited51bba85]

excusez moi .. mais je ne vois pas vraiment où vous voulez en venir.
Pourriez vous me détaillez un peu plus en quoi consiste votre raisonnement et vers où il va.
merci bien

[invitea3eb043e]

Je ne vais pas tout faire à ta place, juste préciser un peu.
OG = [vyt OA + uyt OB + xut OC]/D (en vecteurs bien entendu)
où D (dénominateur) vaut la somme des poids : D = vyt + uyt + xut
On remarque qu'on peut écrire :
OG = [vyt OA + ut(y OB + x OC)]/D
et ça suffit à montrer que G est sur la droite AM à cause de l'associativité des barycentres : y OB + x OC = (x+y) OM et G est le barycentre de A et M avec des poids un peu compliqués qu'on n'a pas besoin de calculer.
On remet ça avec les autres segments et ça marche pareil. D'où la conclusion que G est l'intersection de AM et des autres.
Les barycentres, ça utilise toujours la même formule.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited51bba85]

merci bien
ainsi je vais pouvoir avancer.
je tenais juste à mieux comprendre votre idée.