Aire d'un parallélogramme et vecteur
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Aire d'un parallélogramme et vecteur



  1. #1
    invitefba353f4

    Aire d'un parallélogramme et vecteur


    ------

    Bonjour,
    Je bloque sur un exercice :
    Dans un repere orthonormal (0,i,j)
    Soit A(-1;1), B(1;2), C(2;-1) et D(0;-2).
    Démontrer que ABCD est un parallélogramme et calculer son aire.


    C'est l'aire que je n'arrive pas à calculer. J'avais pensé au vecteur normal AH ou AH est la hauteur du parallélogramme perpendiculaire à (AB) .... mais je ne vois pas comment faire
    Merci de votre aide !

    -----

  2. #2
    invitea3eb043e

    Re : Aire d'un parallélogramme et vecteur

    Tu peux facilement calculer les longueurs des côtés du triangle ABC et à partir de là utiliser la formule de Héron qui donne l'aire du triangle ABC : S = racine[p(p-a)(p-b)(p-c)] où p est le demi-périmètre

  3. #3
    invitefba353f4

    Re : Aire d'un parallélogramme et vecteur

    Je n'ai jamais vu cette formule .... il n'y a t'il pas une autre méthode ?
    Je suis dans le chapitre géométrie analytique

  4. #4
    invitec94283aa

    Re : Aire d'un parallélogramme et vecteur

    det(AB,CD)=0
    det(BC,AD)=0
    Donc les côtés opposés sont parallèles deux à deux, c'est un parallélogramme

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    invitec94283aa

    Re : Aire d'un parallélogramme et vecteur

    et laire est égale à det(AD,AB)=7

  7. #6
    invitefba353f4

    Re : Aire d'un parallélogramme et vecteur

    je ne sais pas ce que c'est det

  8. #7
    sylvainc2

    Re : Aire d'un parallélogramme et vecteur

    Si tu connais le produit scalaire de 2 vecteurs: <AB,AD>, alors tu peux aussi utiliser la formule:

    aire =

    est la norme du vecteur AB

  9. #8
    invitefba353f4

    Re : Aire d'un parallélogramme et vecteur

    euh..... merci sylvain, je ne suis pas sur de tout comprendre !
    Il me semble pourtant qu'il faut utilisé l'orthogonalité !

  10. #9
    invitec94283aa

    Re : Aire d'un parallélogramme et vecteur

    det veut dire déterminant
    Par définition det(u,v)=||u||.||v||.sin(u,v) (il y a des flèches sur u et v)

    Par ailleurs, on dit que u et v sont colinéaires (parallèles) si et seulement si le determinant de ces deux vecteurs est nuls

    Or l'expression du déterminant de deux vecteurs se note :
    det(u,v)=xy'-yx'
    avec u(x,y) et v(x',y')

    Donc grâce au déterminant tu peux démontrer mais uniquement dans le plan que 2 vecteurs sont colinéaires.

    En ce qui concerne l'aire de ton parallélogramme, tu peux calculer la norme du vecteur sur la longueur et celui de la largeur. Tu fais ensuite un produit de ces 2 normes et tu en déduis l'aire de ton parallélogramme.

  11. #10
    invite70b6ef65

    Re : Aire d'un parallélogramme et vecteur

    Ou sinon tu restes dans le programme et tu utilise les classiques : tu cherches les coordonnées de chaque vecteur, tu regarde si tu peux multiplier l'un par un même réel pour obtenir l'autre, tu fais ça pour les quatre côtés du parallélogramme, et tu conclus.
    Pour ce qui est de l'air, c'est base*hauteur... (tu calcules la norme des deux vecteurs)

  12. #11
    invitefba353f4

    Re : Aire d'un parallélogramme et vecteur

    c'est bien la le probleme .... comment calculer la norme du "vecteur de la hauteur" ?? J'avais pensé au produit scalaire AH.DC=0 puis XAH*XDC+YAH*YDC=0
    ... je ne connait pas les coordonnées de H et je me retrouve avec 2a+b+1=0 avec H(a;b)

  13. #12
    invite70b6ef65

    Re : Aire d'un parallélogramme et vecteur

    J'ai une idée un peu compliquée (bof je suis en vacances aussi, je pense pas forcément maths ) :

    Tu calcules l'équation de la droite (AB) :
    On a A(-1;1), B(1;2), C(2;-1) et D(0;-2).











    Ensuite, il suffit de calculer la distance d'un point de (CD) à (AB) (ce sera en fait la hauteur du parallélogramme) :


    Après tu peux facilement trouver [AB] :


    Donc l'aire... tu multiplies et tu trouves 7.


    Après, je suis sûr qu'il y a plus simple !

  14. #13
    invitec94283aa

    Re : Aire d'un parallélogramme et vecteur

    Je ne comprends pas pourquoi tu ne veux pas utiliser le déterminant, pourtant c'est un outil comme le produit scalaire, sauf que le déterminant permet de calculer facilement l'aire du parallélogramme.

    det(AB,AD) correspond à l'aire du parallélogramme construit par ces deux vecteurs (cours de géométrie élémentaire du plan). L'expression du produit scalaire de deux vecteurs est xx'+yy' celle du déterminant est xy'-yx'.

    Il te suffit de l'appliquer à ton cas : det(AB,AD)=2.(-3)-1.1=-7, étant donné que c'est une aire que l'on calcule c'est bien entendu la valeur absolu donc Aire=|det(AB,AD)|=7

  15. #14
    invite70b6ef65

    Re : Aire d'un parallélogramme et vecteur

    Citation Envoyé par lionelf64 Voir le message
    Je ne comprends pas pourquoi tu ne veux pas utiliser le déterminant, pourtant c'est un outil comme le produit scalaire, sauf que le déterminant permet de calculer facilement l'aire du parallélogramme.

    det(AB,AD) correspond à l'aire du parallélogramme construit par ces deux vecteurs (cours de géométrie élémentaire du plan). L'expression du produit scalaire de deux vecteurs est xx'+yy' celle du déterminant est xy'-yx'.

    Il te suffit de l'appliquer à ton cas : det(AB,AD)=2.(-3)-1.1=-7, étant donné que c'est une aire que l'on calcule c'est bien entendu la valeur absolu donc Aire=|det(AB,AD)|=7
    Démontre lui ces deux propriétés du déterminant, et après il pourra l'utiliser.
    Si je ne m'abuse, ce n'est enseigné qu'après la terminale.

  16. #15
    invitec94283aa

    Re : Aire d'un parallélogramme et vecteur

    Ok
    Soit u(x,y) et v(x',y') dans la base (0,i.j) orthonormale directe
    Soit u=xi1+yj2
    et v=x'i1+y'j2

    det(u,v)=det(xi1+yj2,x'i1+y'j2)
    =xx'det(i,i)+xy'det(i,j)+x'yde t(j,i)+yy'det(j,j)
    =(xy'-x'y)det(i,j)=xy'-x'y car det(i,j)=1

  17. #16
    invite70b6ef65

    Re : Aire d'un parallélogramme et vecteur

    Citation Envoyé par lionelf64 Voir le message
    Ok
    Soit u(x,y) et v(x',y') dans la base (0,i.j) orthonormale directe
    Soit u=xi1+yj2
    et v=x'i1+y'j2

    det(u,v)=det(xi1+yj2,x'i1+y'j2)
    =xx'det(i,i)+xy'det(i,j)+x'yde t(j,i)+yy'det(j,j)
    =(xy'-x'y)det(i,j)=xy'-x'y car det(i,j)=1
    Sans vouloir te vexer, tu ne démontres rien :/
    Tu as juste montré que, si det(i,j) = 1, alors det(u,v) = xy'-x'y.

  18. #17
    invitea3eb043e

    Re : Aire d'un parallélogramme et vecteur

    Pas facile quand on ne connaît pas le niveau de Nikko22.
    Déjà montrer que les vecteurs AB et DC sont égaux suffit pour que ce soit un parallélogramme.
    Ensuite on peut voir assez facilement en traçant la hauteur que l'aire vaut AB.BC.sin(ABC) (c'est le produit vectoriel ou le déterminant mais ça peut se voir directement).
    Le sinus se déduit du cosinus par la formule d'Al Kashi dans le triangle ABC et c'est fini (c'est ce qu'écrivait sylvainc2)

  19. #18
    invitec94283aa

    Re : Aire d'un parallélogramme et vecteur

    Excuse moi nono212 mais bon j'ai démontré ce qu'il nous intéresse , on travaille dans une base orthonormale directe donc c'est cette démonstration qui nous intéresse.

    C'est dingue je propose juste une autre réponse, tu te fais quasiment agressé, tu n'es pas le prof de maths nono212 , tu participes juste à une discussion sur un forum. Je ne comprends pas ton ton insistant, ne t'inquiète pas, ton résultat est aussi juste, je proposais juste une autre méthode de calcul plus rapide même si l'éditeur du sujet ne la connait pas, cela lui permettra d'élargir ses connaissances.

  20. #19
    DarK MaLaK

    Re : Aire d'un parallélogramme et vecteur

    Bonjour je peux proposer une solution n'utilisant que le produit scalaire et le théorème de Pythagore si ça peut aider...

    On trace la hauteur du parallélogramme issue de A qu'on appelle H, de coordonnées (a,b) dans le repère (Oij).



    Cela prouve en outre par deux fois que ABCD est un parallélogramme.



    Comme on sait que l'angle AHD est un angle droit, on peut utiliser le produit scalaire et le théorème de Pythagore.



    On écrit maintenant le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle AHD :



    On a deux inconnues dans l'équation, mais on va écrire b en fonction de a à partir de l'équation établie par le calcul précédent :



    Cela nous permet de trouver b :

    On peut maintenant connaître la hauteur AH du parallélogramme :



    L'aire du parallélogramme est donc :



    Sinon on peut utiliser la norme du produit vectoriel mais je pense que cela revient aux calculs de déterminants exposés précédemment.

    P.S. : Je m'excuse si jamais certaines personnes sont dérangées par le fait que j'écris qu'un vecteur est égal à ses coordonnées mais vu qu'on ne travaille que dans un seul repère, je pense qu'il n'y a aucune ambigüité.

  21. #20
    invite70b6ef65

    Re : Aire d'un parallélogramme et vecteur

    Citation Envoyé par lionelf64 Voir le message
    Excuse moi nono212 mais bon j'ai démontré ce qu'il nous intéresse , on travaille dans une base orthonormale directe donc c'est cette démonstration qui nous intéresse.

    C'est dingue je propose juste une autre réponse, tu te fais quasiment agressé, tu n'es pas le prof de maths nono212 , tu participes juste à une discussion sur un forum. Je ne comprends pas ton ton insistant, ne t'inquiète pas, ton résultat est aussi juste, je proposais juste une autre méthode de calcul plus rapide même si l'éditeur du sujet ne la connait pas, cela lui permettra d'élargir ses connaissances.
    Je n'ai jamais dit que le déterminant n'existait pas ni ses propriétés, j'ai juste dit qu'ici on est dans la partie Lycée, et que le déterminant n'est abordé que plus tard. Or, il peut être intéressant de le connaître, mais il faut démontrer ses propriétés avant de pouvoir l'utiliser.
    Quand je dis ses propriétés, c'est comment il est défini, comment s'en servir pour calculer une aire.

  22. #21
    invitefba353f4

    Re : Aire d'un parallélogramme et vecteur

    Merci à tous pour toutes ces methodes ! Pour la pluspart de celles-ci, j'ai compris ! Quand le prof nous donnera une correction, je la posterais ici ^^

  23. #22
    invitefba353f4

    Re : Aire d'un parallélogramme et vecteur

    Comme promis voila une autre méthode :

    * Équation de (DC) grâce au vecteur DC (vecteur directeur de la droite DC) : x-2y-4=0

    * Équation de (AH) grâce au vecteur DC (vecteur normal de la droite AH) : 2x+y+1=0

    * H appartient à (DC) et (AH) donc résolution du système :
    2x+y+1=0
    x-2y-4=0

    Coordonnées de H(-9/5 ; 2/5)

    * Calcul des longueurs AH et AC

    * Calcul de l'aire ABCD = AHxAC= 7

    Voila .... si ca peut servir à quelqu'un d'autre !

  24. #23
    invite2b14cd41

    Re : Aire d'un parallélogramme et vecteur

    Ne serait-ce pas plus simple d'utiliser le produit vectoriel et de conclure immédiatement ?

  25. #24
    invite2b14cd41

    Re : Aire d'un parallélogramme et vecteur

    oups, je n'ai pas vu qu'on travaillait dans le plan
    Le déterminant est alors la méthode la plus rapide ... On peut toujours utilisé le produit vectoriel , (avec 0.k) , cela revient au même finalement ...

  26. #25
    Bhb Kc

    Re : Aire d'un parallélogramme et vecteur

    Wow merci énormément cette discussion que vous avez fait m'aider beaucoup ��

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