Polynômes, Aire d'un parallèlogramme

[invitef840b7a7]

Bonjour à tous. Voici un exercice dont 5 pages de calculs n'ont pu résoudre.

ABCD est un rectangle, de côté a et 2a (avec a > 0). Les points M, N, P et Q appartiennent respectivement aux côtés [AB], [BC], [DC] et [AB].
De plus, AM = BN = CP = DQ.

Déterminer la position du point M sur [AB] pour que l'aire du quadrilatère MNPQ soit minimale.


Je me suis focalisé sur l'idée de donner l'aire en fonction de [AB], que je nomme x, pour en faire un polynôme.
Y a t'il d'autre solution ?
J'ai démontré par pythagore que : QM = NP et QP = MN donc QMNP est un parallèlograme. Pour l'aire, j'ai fait (en résumé très résumé)
AM = BN = PC = DQ = x
NG = AQ = a-x
BM = DP = 2a - x
j'en suis arrivé avec pythagore à
Aire = RACINE 2x²+a²-2ax X RACINE 4a²+2x²-4
= > Aire = RACINE x(4x^3 - 12a^3 - 12x²a + 2xa²) + 4a^4
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[fiatlux]

salut

ta 2e racine ce serait pas plutôt ?

Ensuite on dirait que tu as calculé ton aire en faisant côté1 du parallélogramme fois côté2... alors que l'aire d'un parallélogramme c'est base fois hauteur. Et justement si tu calcules cette hauteur dans les règles de l'art, et que tu fais tout le calcul, ça fait un truc dégueulasse, au final mon Aire vaut:

..et si tu veux t'amuser à dériver ça pour trouver le minimum...

Du coup y'a une autre façon pour s'éviter de calculer la hauteur, et ça t'évite même de calculer les côtés de ton parallélogramme. C'est de voir que l'aire de ton parallélogramme c'est l'aire du rectangle ABCD moins l'aire des 4 triangles inclus dans le rectangle mais hors du parallélogramme (deux grands triangles identiques MNB et DQP et deux petits triangles PCN et QAM). Et là ça te donne tout de suite quelque chose de beaucoup plus potable

[invitef840b7a7]

salut, merci de ton interet à cet heure. Oui, je me suis trompé en marquant, désolé.
en fait, je pensait qu'on pouvait calculer l'aire comme pour les rectangles ! d'accord pour la soustraction des autres aires, c'est sur que sa marche bien mieu ! merci, je vais voir avec tout ça.