Produit scalaire

[invite8290547b]

Bonjour,
je ne sais pas comment faire pour répondre à cette question:

Soit [AB] un segment de longueur 6.
Déterminer et construire l'ensemble des points du plan vérifiant :
vecteur AM . vecteur AB=18
-----

[invite9617f995]

Bien, si on note H le projeté orthogonal de M sur la droite (AB), peux-tu me dire ceque vaut le scalaire produit AM.AB en fonction de H ?
Peux tu dire alors où se trouve H ? Si oui, il ne te reste qu'à déterminer les points dont le projeté orthogonal sur (AB) est placé ainsi

Je te laisse réfléchir.

NB : les quantités en gras sont des vecteurs

[invite8290547b]

AM .AB = AH . AB

donc H se trouve sur [AB]

??

[invite9617f995]

Le fait que H se trouve sur (AB) vient de sa définition, mais par contre tu peux trouver une autre information sur H avec la formule que tu as trouvé :
AM.AB = AH.AB = 18

Tu dois avoir trois formules permettant de calculer un produit scalaire : une avec les coordonnées, une avec le projeté orthogonal (que tu viens d'utiliser) et qui fait notamment intervenir les modules des vecteurs. C'est cette dernière qui nous intéresse, elle dois être dans ton cours.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite8290547b]

AH * AB = 18 d'où AH =3 ?

[invite9617f995]

Ce que tu viens d'écrire est juste mais tu as d'abord un petit raisonnement à faire. Quel est la formule que tu as utilisé ?

[invite8290547b]

H étant le projeté orthogonal de M sur la droite (AB);
AM .AB =|| AH|| * ||AB||

puisque AB et AH sont colinéaires et de meme sens.

[invite9617f995]

C'est déjà mieux, mais pour dire qu'ils ont même sens tu dois faire un petit raisonnement. En effet, si H est sur (AB) ils peuvent être de même sens ou de sens opposés ... Cependant le cosinus de l'angle t entre AH et AB est du même signe que le produit scalaire (en effet AH.AB = AHxABxcos(t), c'est la formule que je voulais que tu cites ). Comme ici t est égal à 0° ou 180°, le cos peut-être juste égal à 1 ou -1. Le produit scalaire étant positif, on a cos(t)=1, t=0° (même sens) et donc AH.AB = AHxAB, d'où AH=3.

Enfin bref, en conclusion, tu as AH dirigé comme AB avec AH=3=AB/2 donc H est le milieu de [AB].

A toi de voir quels point ont pour projetés orthogonal le milieu de [AB]. Je te laisse réfléchir ...

[invite8290547b]

La médiatrice à [AB] ?

[invite9617f995]

Oui c'est ça

[invite8290547b]

Merci beaucoup ! Bonne soirée.