Questions sur exercices de fonctions exponentielles

[Joe l indien]

(Re)Salut,

Dans un exercice à rendre, je rencontre une forme que je n'avais pas encore vue et qui me "perturbe".

Je dois dériver h(x)=

En très clair et très simple, comment dois-je traiter cet exercice : avec la formule ou Aussi, comment "gérer" le signe "-" ?

Un autre exercice me dérange : Que faire avec cette fraction en exposant ?
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[hhh86]

c'est une fonction composée donc tu appliques la formule (uov)'=u'ov.v' où u=exp

Je ne vois pas ce qui te dérange dans la 2 ?

[Joe l indien]

c'est une fonction composée donc tu appliques la formule (uov)'=u'ov.v' où u=exp

Je ne vois pas ce qui te dérange dans la 2 ?

Que faire des fractions et des signes négatifs ? Faut-il tansformer quelque chose ?

[Elie520]

N'oublie pas que . Ainsi, tu peux sortir ta fraction. De plus, cela ne compliquera pas la dérivation puisque la fraction sortira sous forme de constante.

[A voir en vidéo sur Futura]

[hhh86]

Que faire des fractions et des signes négatifs ? Faut-il tansformer quelque chose ?

non pas du tout.

Je vais te donner un autre exemple un peu différent :

Soit f : x |--> exp(cos(x))

exp est dérivable sur IR
cos est dérivable sur IR
Donc f est dérivable sur IR comme composée de fonctions dérivables sur IR.
Pour tout x appartenant à IR, f'(x)=exp'(cos(x))*cos'(x)=-sin(x)*exp(cos(x))



Dans tes deux cas particuliers,
tu peux écrire pour le premier que f=uov avec u=exp et v : x |--> -5x
Donc f'=u'ov.v'=exp(-5x)*(-5))=-5exp(-5x)

[Joe l indien]

Comme (fort malheureusement) je ne suis pas un as en maths, j'avoue ne pas tout comprendre de ton écriture.

Soit, je résous comme suit :

h(x)=
h'(x)= (selon moi)

Et,

h(x)=
h'(x)= (d'après moi...!)

[fiatlux]

Salut

le 1er c'est juste. Le 2e, ou passe ton signe moins ?

[Joe l indien]

En effet,

h(x)=
h'(x)= ?

[fiatlux]

tout à fait.

[Joe l indien]

Merci pour les corrections

J'ai encore quelques exercices (dont j'espère qu'ils sont justes) :

1) =>
Là je vois qu'il y a e^x de part et d'autre de l'addition mais je ne parviens pas à les regrouper (peut-être parce que mon calcul est faux!)

2) =>

3) => = e^x-1 (je crois)
donc h'(x)=(x^-1)'.e^1/x=-x^-2.e^x-1

[fiatlux]

1) juste. Tu peux simplement regrouper comme ça:

2) juste.

3) juste

[Joe l indien]

1) juste. Tu peux simplement regrouper comme ça:

Bien vu ça... Je n'ai pas eu l'oeil aussi aiguisé ! évidemment c'est a^2+2ab+b^2

[Joe l indien]

Quelqu'un aurait-il la gentillesse de bien vouloir réviser les deux derniers exercices ci-dessous pour mon devoir :

1) Il s'agit de trouver le coefficient angulaire de la tangente à la fonction h(x)=e^x au point d'abscisse 1.

Ne s'agit-il pas tout simplement de ceci : h'(x)=(e^x)' = e^x donc au point 1 : e¹ ?

2) Une population de bactéries est donnée par la fonction P(t)=70000.e^0,9.t où t est le nombre d'heures écoulées depuis ce matin 9 heures.

a) Calculez la population prévue à midi

P(t)=70000.e^0,9.3=70000.e^2,7

b) prévue hier soir à 22 heures

P(t)=70000.e^0,9.(-11)=70000.e^-9,9

c) Ecrivez l'équation permettant de calculer à quel moment la population a doublé.

Pour cet exercice, il y a des exemples de résolution similaires à celle que je vais employer ci-dessous où il est admis que pour l'instant c'est la méthode à employer mais qu'il existe une solution plus précise.

Ceci dit, je ne sais pas si j'emploie correctement la méthode et si ce que j'écris est logique ou pas :

70000.e^0,9t = 140000
=> e^0,9t = 140000/70000=2

Je ne sais pas trop que faire de ce résultat

[pallas]

pourquoi pour 22h as tu pris -11 perso je prends 13
pour la fin tu prend le ln des deux termes et cela conduit à 0.9t =ln 2 d'ou t= (ln2)/0.9

[Joe l indien]

pourquoi pour 22h as tu pris -11 perso je prends 13
pour la fin tu prend le ln des deux termes et cela conduit à 0.9t =ln 2 d'ou t= (ln2)/0.9

salut,

pour -11, comme c'est 22h la veille je déduis le décalage entre 9h et les 22h de la veille ce qui me donne 11h... (?)

sinon c'est quoi ln ?

[portoline]

salut,

pour -11, comme c'est 22h la veille je déduis le décalage entre 9h et les 22h de la veille ce qui me donne 11h... (?)

sinon c'est quoi ln ?

bonjour
peu importe 22h ou 13h ou n'importe quelle heure ; on demande l'équation ' quand ça a doublé) pallas te donne l'équation qui est bien
(ln2)/.9 = 46'13'' ; c'est ça les log ;

[Joe l indien]

bonjour
peu importe 22h ou 13h ou n'importe quelle heure ; on demande l'équation ' quand ça a doublé) pallas te donne l'équation qui est bien
(ln2)/.9 = 46'13'' ; c'est ça les log ;

ça c'est pour la réponse c)

ln = logarithme?
quoi qu'il en soit nous n'avons pas encore abordé cette manière de faire...ce que je demande c'est si mon raisonnement (simple il est vrai) est correct. C'est une simple règle de 3.


pour la b) on demande de calculer la population hier soir à 22 heures.
Donc selon moi comme il est 9h00 le lendemain, je soustrais 11 heures.

[portoline]

ça c'est pour la réponse c)

ln = logarithme?
quoi qu'il en soit nous n'avons pas encore abordé cette manière de faire...ce que je demande c'est si mon raisonnement (simple il est vrai) est correct. C'est une simple règle de 3.


pour la b) on demande de calculer la population hier soir à 22 heures.
Donc selon moi comme il est 9h00 le lendemain, je soustrais 11 heures.

ah non , tu ne peux pas compter les log et exponentielles avec une règle de 3 ; quand ça double , c'est ln 2 ... quand ça triple , c'est ln3 etc tu ne peux pas faire autrement

[Joe l indien]

désolé mais maintenant je suis confus.

en clair :
réponses a, b et c fausses ?

[portoline]

désolé mais maintenant je suis confus.

en clair :
réponses a, b et c fausses ?

si tu fais un exo sur les log , t'as dû les apprendre ?
alors pour a ) à midi t=3 d'accord ?
b) pour hier soir 22h , calcule U0 pour U11= 70 000 (11 parce que 11 heures de 22h à 9 h )
c) on t'as dejà donné l'équation , à toi de comprendre maintenant

[hhh86]

Attention de ne pas l'embrouiller.
70000.e0,9t = 140000 <=> e0,9t = 140000/70000=2 on est d'accord
Ensuite si tu n'as pas vu ln tu ne peux pas aller plus loin.
Sinon tu peux, en utilisant le théorème de la bijection démontrer que la solution de cette équation est unique et en donner un encadrement mais je doute que ce soit le résultat cherché

[Joe l indien]

si tu fais un exo sur les log , t'as dû les apprendre ?
alors pour a ) à midi t=3 d'accord ?
b) pour hier soir 22h , calcule U0 pour U11= 70 000 (11 parce que 11 heures de 22h à 9 h )
c) on t'as dejà donné l'équation , à toi de comprendre maintenant

Ok. Je vais essayer.

Donc pour 22h, je devrais mettre 11 au lieu de -11 => P(t)=70000.e^0,9.11 ?
Si, par ex, je devais calculer non pas pour hier soir mais pour le soir même à 20h00 ? Cela donnerait aussi P(t)=70000.e^0,9.11

Par conséquent, je n'ai sans doute rien compris à la réponse qui m'a été donnée ci-dessus par Portoline...

[hhh86]

Pour la c, On cherche l'ensemble des réels t tels que P(t)=2P(0)

[Joe l indien]

Pour la c, On cherche l'ensemble des réels t tels que P(t)=2P(0)

oui ok, merci pour le c)

comme tu as dit, je ne peux pas aller plus loin pour le moment, merci pour cet éclaircissement.

Je voudrais comprendre l'erreur dans le b (oublions le c ), l'histoire des 22h la veille m'échappe : cela me semblait "logique" de déduire 11h de l'heure actuelle (dans le problème : 9h00).

PS: je m'excuse d'avance pour ma récalcitrance mais ce n'est pas volontaire

[portoline]

Ok. Je vais essayer.

Donc pour 22h, je devrais mettre 11 au lieu de -11 => P(t)=70000.e^0,9.11 ?
Si, par ex, je devais calculer non pas pour hier soir mais pour le soir même à 20h00 ? Cela donnerait aussi P(t)=70000.e^0,9.11

Par conséquent, je n'ai sans doute rien compris à la réponse qui m'a été donnée ci-dessus par Portoline...

a) 70 000*e^.9t ça c'est à 9 heure du matin ( c'est 70 000)
donc pour 12 heures c'est 70 000.e^(09*.3)
b) c'est une autre suite ; U11=70 000 et tu dois calculer U0 avec la même fonction

[hhh86]

Ok. Je vais essayer.

Donc pour 22h, je devrais mettre 11 au lieu de -11 => P(t)=70000.e^0,9.11 ?
Si, par ex, je devais calculer non pas pour hier soir mais pour le soir même à 20h00 ? Cela donnerait aussi P(t)=70000.e^0,9.11

Par conséquent, je n'ai sans doute rien compris à la réponse qui m'a été donnée ci-dessus par Portoline...

Oui tu as rien compris de ce qu'a écrit portoline.

En fait ce que cette personne voulait te dire c'est que comme on sait que P(t)=P(0)*e(0,9t), alors il suffisait de partir de l'heure 22h et de résoudre l'équation 70000=P(0)e(0.9*11)
<=>P(0)=70000e(-0.9*11) (ne mélange pas tout même si j'ai fait une petite confusion au niveau des écritures pour aller plus vite)

Donc ton raisonnement au départ était tout à fait correct mais manquait de rigueur. C'est par chance que tu es tombé sur le bon résultat.

[Joe l indien]

Hello,

j'essaie vraiment de comprendre vos explications.

Je conçois que l'exercice est très simple mais j'ai du mal avec l'écriture que vous utilisez. En effet, bien qu'elle soit vraisemblablement irréprochable, le souci c'est que je n'ai plus fait de maths depuis plusieurs années et que donc pour l'écriture, je ne comprends que mon cours (et donc la manière du cours) de procéder (je ne suis donc pas très souple de ce côté là). ==> d'où des explications "en français" sont souvent plus efficaces pour moi

Par exemple je ne sais pas comment interpréter les astérisques dans les explications ci-dessus, qu'est que cela représente, un exposant? J'ai toujours du mal à comprendre comment le signe "-" apparait dans 70000=P(0)e(0.9*11)
<=>P(0)=70000e(-0.9*11)

En me concentrant très fort (), je ne parviens pas non plus à bien comprendre ce que tu veux dire, hhh86, en disant que mon raisonnement est correct mais manque de rigueur. Si j'ai eu le bon résultat par chance, alors cela ne peut pas être juste? Donc simplement déduire les heures ce n'est pas correct alors...

Décidément, je suis vraiment pas doué (quelle frustration!)
complètement à la masse sur ce coup (qui pourtant a l'air très simple)...

[hhh86]

Hello,

j'essaie vraiment de comprendre vos explications.

Je conçois que l'exercice est très simple mais j'ai du mal avec l'écriture que vous utilisez. En effet, bien qu'elle soit vraisemblablement irréprochable, le souci c'est que je n'ai plus fait de maths depuis plusieurs années et que donc pour l'écriture, je ne comprends que mon cours (et donc la manière du cours) de procéder (je ne suis donc pas très souple de ce côté là). ==> d'où des explications "en français" sont souvent plus efficaces pour moi

Par exemple je ne sais pas comment interpréter les astérisques dans les explications ci-dessus, qu'est que cela représente, un exposant? J'ai toujours du mal à comprendre comment le signe "-" apparait dans 70000=P(0)e(0.9*11)
<=>P(0)=70000e(-0.9*11)

En me concentrant très fort (), je ne parviens pas non plus à bien comprendre ce que tu veux dire, hhh86, en disant que mon raisonnement est correct mais manque de rigueur. Si j'ai eu le bon résultat par chance, alors cela ne peut pas être juste? Donc simplement déduire les heures ce n'est pas correct alors...

Décidément, je suis vraiment pas doué (quelle frustration!)
complètement à la masse sur ce coup (qui pourtant a l'air très simple)...

En fait j'utilise le symbole * pour la multiplication comme beaucoup d'autres personnes. En effet le symbole x peut préter à confusion.

Ensuite pour tout x appartenant à IR, il est facile de démontrer que exp(-x)=1/exp(x).

Je peux te faire une rapide démonstration :
Soit f une fonction dérivable sur IR telle que f'=f et f(0)=1
Soit Ф : x |-->f(x)*f(-x)
Dérivabilité :
x |--> -x est dérivable sur IR et f est dérivable sur IR donc x |--> f(-x) est dérivable sur IR comme composée de fonctions dérivables sur IR.
Ф est dérivable sur IR comme produit de fonctions dérivables sur IR.
Pour tout x appartenant à IR, on a Ф'(x)=f'(x)*f(-x)+f(x)*(-f'(-x))
<=>Ф'(x)=f(x)*f(-x)-f(x)*f(-x)
<=>Ф'(x)=0
Donc il existe un réel k tel que pour tout x appartenant à IR, Ф(x)=k
Or Ф(0)=1 d'où k=1
On a donc f(x)*f(-x)=1 pour tout x appartenant à IR
<=>f(-x)=1/f(x) pour tout x appartenant à IR

Pour fermer la paranthèse, procédons par étapes
70000=P(0)e(0.9*11)
<=>70000/e(0.9*11)=P(0)e(0.9*11)/e(0.9*11)
<=>70000/e(0.9*11)=P(0)
<=>70000e(-0.9*11)=P(0)


Enfin pour ton dernier paragraphe, je me suis peut-être mal exprimé, ne sois pas frustré, pour quelqu'un qui n'a pas fait de maths depuis quelques années, tu ne te débrouilles vraiment pas si mal que ça. Ce que je voulais te dire c'est que l'énoncé que tu nous a donné "Une population de bactéries est donnée par la fonction P(t)=70000.e0,9.t où t est le nombre d'heures écoulées depuis ce matin 9 heures." impique que t est un réel positif comme le souligne le mot "depuis". Tu ne peux donc pas faire de retour dans le passé même si par intuition cela marche très bien. Donc il faut supposer que la loi de croissance des bactéries est conservée dans le temps. C'est à dire qu'à partir de la date 22h00, on ait B(t)=B(0)*exp(0.9t) où t est le temps écoulée en heures depuis 22h00, B(0) la population de bactéries à la date 22h00. Tu connais B(11) qui correspond à la population de bactéries à 9h00 donc cela te permet de retrouver B(0)

[Joe l indien]

En fait j'utilise le symbole * pour la multiplication comme beaucoup d'autres personnes. En effet le symbole x peut préter à confusion.

Ensuite pour tout x appartenant à IR, il est facile de démontrer que exp(-x)=1/exp(x).

Je peux te faire une rapide démonstration :
Soit f une fonction dérivable sur IR telle que f'=f et f(0)=1
Soit Ф : x |-->f(x)*f(-x)
Dérivabilité :
x |--> -x est dérivable sur IR et f est dérivable sur IR donc x |--> f(-x) est dérivable sur IR comme composée de fonctions dérivables sur IR.
Ф est dérivable sur IR comme produit de fonctions dérivables sur IR.
Pour tout x appartenant à IR, on a Ф'(x)=f'(x)*f(-x)+f(x)*(-f'(-x))
<=>Ф'(x)=f(x)*f(-x)-f(x)*f(-x)
<=>Ф'(x)=0
Donc il existe un réel k tel que pour tout x appartenant à IR, Ф(x)=k
Or Ф(0)=1 d'où k=1
On a donc f(x)*f(-x)=1 pour tout x appartenant à IR
<=>f(-x)=1/f(x) pour tout x appartenant à IR

Pour fermer la paranthèse, procédons par étapes
70000=P(0)e(0.9*11)
<=>70000/e(0.9*11)=P(0)e(0.9*11)/e(0.9*11)
<=>70000/e(0.9*11)=P(0)
<=>70000e(-0.9*11)=P(0)


Enfin pour ton dernier paragraphe, je me suis peut-être mal exprimé, ne sois pas frustré, pour quelqu'un qui n'a pas fait de maths depuis quelques années, tu ne te débrouilles vraiment pas si mal que ça. Ce que je voulais te dire c'est que l'énoncé que tu nous a donné "Une population de bactéries est donnée par la fonction P(t)=70000.e0,9.t où t est le nombre d'heures écoulées depuis ce matin 9 heures." impique que t est un réel positif comme le souligne le mot "depuis". Tu ne peux donc pas faire de retour dans le passé même si par intuition cela marche très bien. Donc il faut supposer que la loi de croissance des bactéries est conservée dans le temps. C'est à dire qu'à partir de la date 22h00, on ait B(t)=B(0)*exp(0.9t) où t est le temps écoulée en heures depuis 22h00, B(0) la population de bactéries à la date 22h00. Tu connais B(11) qui correspond à la population de bactéries à 9h00 donc cela te permet de retrouver B(0)

Un grand grand merci à toi hhh86 (et aux autres) pour la patience et toutes ces explications complémentaires !

Je crois que j'ai enfin compris, il était temps