Devoir sur fonctions exponentielles

[invitea97b4264]

Bonjour à tous !

Je rencontre des difficultés à résoudre certains énoncés de mon devoir sur les fonctions exponentielles. J'aurai besoin de votre aide car mes connaissances sur ce chapitre sont pour l'instant assez réduites
Voici l'énoncé :

Le but de l'exercice est de montrer que l'équation (E) : e^x=1/x, admet une unique solution dans l'ensemble R des réels.

On note f la fonction définie sur R par f(x) = x - e^-x
1. Démontrer que x est la solution de l'équation (E)

2. Etude du signe de la fonction f
a. Etudier le sens de variation de la fonction f sur R.
b. En déduire que l'équation (E) possède une unique solution sur R notée a.

Merci d'avance pour votre aide précieuse !
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[invitea97b4264]

jai réfléchi a la première question mais il ne me semble pas que mon raisonnement soit correct !
f(x) = x - e^-x
f(x) = 0 <=> x - e^-x=0
e^-x = x
Mais comment arriver a prouver que x est bien solution de (E) ??

[invite0022ecae]

Bonjour,
Tu es sur de l'énoncé de la première question

[invitea97b4264]

Bonjour,
Tu es sur de l'énoncé de la première question

Oui tu as raison je rectifie :
1. Démontrer que x est solution de l'équation (E) si et seulement si f(x) = 0

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite0022ecae]

Tu as écrit
f(x) = x - e^-x
f(x) = 0 <=> x - e^-x=0
e^-x = x
C'est bon, tu y es presque
indice: e^-x=1/e^x donc e^-x=1/x <=> à toi

[invitea97b4264]

oui donc on remplace e^-x = x <=> 1/(e^x)=x
<=> e^x = 1/x
c'est correct ?

[invite0022ecae]

A condition biensur que x soit différent de 0.
La question suivante c'est "étude du signe de f ' "ou "etude du signe de f "

[invitea97b4264]

A condition biensur que x soit différent de 0.
La question suivante c'est "étude du signe de f ' "ou "etude du signe de f "

C'est étude du signe de la fonction f

[invite0022ecae]

Comment comptes-tu t'y prendre pour étudier le sens de variation de f ?

[invitea97b4264]

je pensais étudier le signe de e^-x mais sinon je n'en ai stristement aucune idée :S

[invite0022ecae]

pour déterminer le sens de variation de f, il faut étudier le signe de f '

[invitea97b4264]

f(x) = x - e^-x
f'(x) = 1+ e^-x
C'est la bonne dérivée ?

[invitea97b4264]

en revanche je ne vois pas du tout comment étudier le signe de la fonction exponentielle je ne lai pas encore vu en cours ou très peu :S
Commetn procède t-on pour e^-x (si la dérivée est correcte) ?

[invite0022ecae]

ta dérivée est fausse, la dérivée de e^(ax+b) est ae^(ax+b)

[invitea97b4264]

la dérivée de e^-x est -e^-x
f'(-e^-x) = -e^-x
Donc f'(x)= -e^-x +1

[invitea97b4264]

C'est cela ?

[invite0022ecae]

supprime cette ligne:f'(-e^-x) = -e^-x,
Il faut donc étudier le signe de f ', sais tu résoudre -e^-x+1=0 ?

[invitee3b6517d]

la dérivée de e^-x est -e^-x
f'(-e^-x) = -e^-x
Donc f'(x)= -e^-x +1

Bonjour,

Si ta fonction est alors la dérivée est

[invitea97b4264]

Bonjour,

Si ta fonction est alors la dérivée est

C'est ce que javais trouvé en premier mais afolab ma dis que c'étai incorrect :S

[invitea97b4264]

supprime cette ligne:f'(-e^-x) = -e^-x,
Il faut donc étudier le signe de f ', sais tu résoudre -e^-x+1=0 ?

on sait que la dérivée de x est 1 il ne nous reste donc plus qu'a trouver la dérivée de -e^-x !!
g(x) = -e^-x est du type u(x)*v(x) où u=-1 et v= e^-x
Donc g'(x) = u'+v'
= 0 + -e^-x
donc g'(-e^-x) = -e^-x
Ainsi f'(x) = -e^-x +1

[invite0022ecae]

pardon je me suis trompé f '(x)= 1+ e^-x
Je repose ma question sais-tu résoudre l'equation1+e^-x=0

[invitea97b4264]

Je ne vois pas ce qui ne vas pas dans ma dérivée

[invite0022ecae]

si v= e^-x alors v'=-e^-x donc f '(x)=1-(-e^-x)=1+e^-x

[invitea97b4264]

merde je viens de comprendre mon erreur => erreur de formule ! XD

[invite0022ecae]

Sais-tu résoudre l'equation1+e^-x=0 ?

[invitea97b4264]

oui merci ^^ c'était une erreur bete de ma part je pense savoir la résoudre je vais essayer

[invitea97b4264]

e^-x +1= 0
e^-x = -1 <=> e^-x = -e^0 <=> -x=0
x=0

C'est correct ?

[invite0022ecae]

Non d'ailleurs je m'aperçois que je t'entraine vers une mauvaise piste car comme le dérivée est 1+e^-x c'est encore plus simple, connais-tu le signe de e^-x ?

[invitea97b4264]

le signe est positif car la fonction exponentielle est strictement croissante sur R cest ca ?

[invite0022ecae]

Le signe est positif oui mais ce n'est pas parce exp est croissante.
et le signe de 1+e^-x ?
Tu en conclus quoi sur le sens de variation de f ?