Devoir maison sur optimisation et fonctions dérivées.

[invite910856b6]

Bonjour à tous, j'ai un devoir maison à rendre dans quelques jours, je l'ai déjà commencé mais je rencontre quelques difficultés:

Dans une entreprise, on fabrique des planches de surf toutes identiques. Le coût en euros de la production de x planches est donné par f(x)= 0,1x+2000.
Une étude de marché a montré que, pour un prix de vente unitaire de p euros, le nombre de planches vendues est N(p)= 1500-5p (pour p plus grand ou égal à 100 et plus petit ou égal à 300).

1. Montrer que si on fabrique N(p) planches et qu'on les vend toutes au prix unitaire de p euros, le bénéfice correspondant est:
B(p)=-5p^2+1500,5p-2150.

2. Pour quelles valeurs de p la production est elle rentable ?

3.a. Déterminer le prix de vente unitaire qui assure le bénéfice maximal.
b. A combien de planches cela correspond-il ?

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1. Aucun problème, il m'a suffi de calculer la différence entre la recette du nombre de planches vendues et le coût de production d'une planche.

2. Ici, je suppose qu'on me demande la valeur de p tel que B(p) soit supérieur à 0. J'ai donc calculé Delta B(p), le problème c'est que je tombe sur des chiffres pas ronds et je me retrouve avec deux valeurs
(environ 300 et 1).

3. Je ne comprend pas vraiment la question, faut il trouver le prix de la planche (compris entre 100 et 300 euros) pour que les bénéfices soient maximum ? Je ne vois pas du tout comment je peux faire...

Donc voilà, j'espère que quelqu'un pourra déjà me dire ce qu'il pense des 2 premières questions et ensuite, m'éclairer sur la 3eme...
Merci d'avance et bonne journée à tous !
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[lapin savant]

Salut,

2. Ici, je suppose qu'on me demande la valeur de p tel que B(p) soit supérieur à 0. J'ai donc calculé Delta B(p), le problème c'est que je tombe sur des chiffres pas ronds et je me retrouve avec deux valeurs
(environ 300 et 1).

Il s'agit d'un intervalle : x1<p<x2. Sinon, oui tu cherches bien B(p)>0 (il s'agit d'une bête étude de fonction).

3. Je ne comprend pas vraiment la question, faut il trouver le prix de la planche (compris entre 100 et 300 euros) pour que les bénéfices soient maximum ? Je ne vois pas du tout comment je peux faire...

1ere remarque : ce prix est évidemment dans l'intervalle trouvé à la question précédente (bénéfice).
Tu cherches le maximum de la fonction B(p) : il suffit de trouver la valeur de p telle que B '(p) = 0. (annule la dérivée)

[invite910856b6]

Ok merci. Je trouve ainsi que la production est rentable si l'entreprise produit entre 1 et 398 planches.

Après pour la 3eme question, on a donc B'(p)=-10p+1500,5.
Pour que B'(p)=0, il faut que p=150,05.
Si c'est çà, alors on a un nombre de planches vendues égal à N(150,05)=1500-5(150,05)=747,5.

Est ce que le raisonnement et les calculs sont justes ?

Merci d'avance.

[lapin savant]

Le raisonnement est bon, les calculs ont l'air corrects, mais je n'ai pas vérifié les valeurs numériques (la flemme ?...).
Ce qui me heurte toutefois est l'intervalle de rentabilité, crois-tu réellement qu'en ne vendant qu'une seule planche le bénéfice soit rentable ? De plus, je t'ai fait remarqué que le bénéfice maximal est inclus dans le bénéfice rentable (ce qui semble logique...).

B(p)=-5p^2+1500,5p-2150, trouve les 2 racines x1 et x2 et B(p) > 0 pour x1 < p < x2.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite910856b6]

oki, je crois avoir compris, merci beaucoup pour ton aide !