Exercices exponentielles

[inviteb55a2a32]

Bonjour à tous,

Voilà, je m'entraine à des exercices pour le bac, et au vu de mon interrogation jeudi prochain sur les exponentielles. Voici 3 exercices, qui me posent problèmes. Les deux premiers, j'ai quelques éléments de réponses, que je posterai bientôt ici, afin que vous puissiez peut-être me corriger mes fautes, et me donner des indications. Par contre, l'exercice 3, je n'ai pas vraiment compris, et je n'ai rien trouvé, n'ayant pas vraiment fait ce genre d'exercice, et donc pas d'exemple de résolution. Si vous pouviez m'aider pour cet exercice 3, et m'expliquer. Je vous remercie d'avance.

Exercice 1:

PARTIE A
On considère la fonction définie sur l'intervalle ]0;+infini[ par f(x)=x/(e^x-1) .

1. Restitution organisée de connaissances :
La fonction exponentielle est l'unique fonction g dérivable sur R vérifiant :
g'(x)=g(x) pour tout x appartient à R
g(0)=1

Démontrer que lim(h->0) (e^h-1)/h=1 .
2. Déterminer la limite de la fonction f en 0.
3. Déterminer la limite de la fonction f en +infini .
PARTIE B
Soit (Un) la suite définie pour n entier supérieur ou égal à 1 par :
Un= 1/n [1+e^(1/n)+e^(2/n)+...+e^((n-1)/n)]

1. Démontrer que:
1+e^(1/n)+e^(2/n)+...+e^((n-1)/n)=(1-e)/(1-e^(1/n))
puis en déduire que:
Un=(e-1)f(1/n) .
2. En déduire, en utilisant aussi la PARTIE A, que la suite (Un) converge vers e-1 .


Exercice 2:

On considère les fonctions f et g définies sur R respectivement par :
f(x)= x/(e^x+1)+2 et g(x)=e^x(1-x)+1
On admet que l’équation g(x)=0 possède une et une seule solution dans R et on appelle a cette solution. On appelle C la courbe représentant f dans un repère du plan.
Répondez par vrai ou faux et justifiez :
a. La droite d’équation y=x+2 est asymptote à C ?
b. G est décroissante sur R- et croissante sur R+ ?
c. Quel que soit x appartient à R, f’(x) est du signe opposé à g(x).
d. On a f(a)=a+1


Exercice 3:

Soit k un réel strictement positif et fk la fonction définie sur R par :
fk(x) = e(exposant)-kx²

1. Etudier la parité de la fonction fk.
2 Etudier les variations de la fonction fk et dresser son tableau de variation.
3 Déterminer la dérivée seconde fk" et résoudre l'équation fk"(x)=0
4 Démontrer que, quels que soient les réels strictement posiyifs h et k, on a :
fk < fh si, et seulement si, h<k

5 On prend k = 1/2
On désigne par alfa la solution positive de l'équation f1/2"(x)=0
Déterminer une équation de la tangente T à la courbe représentaive de f1/2 au point d'abscisse alfa.

Merci d'avance.
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[invite60be3959]

Exercice 3:

Soit k un réel strictement positif et fk la fonction définie sur R par :
fk(x) = e(exposant)-kx²

1. Etudier la parité de la fonction fk.
2 Etudier les variations de la fonction fk et dresser son tableau de variation.
3 Déterminer la dérivée seconde fk" et résoudre l'équation fk"(x)=0
4 Démontrer que, quels que soient les réels strictement positifs h et k, on a :
fk < fh si, et seulement si, h<k

5 On prend k = 1/2
On désigne par alfa la solution positive de l'équation f1/2"(x)=0
Déterminer une équation de la tangente T à la courbe représentaive de f1/2 au point d'abscisse alfa.

Merci d'avance.

Ok, donc on attend tes propositions pour les exos 1 et 2

Je ne vois pas vraiment ce qui te déranges pour démarrer pour l'exo 3, c'est du niveau 1ère pour les 2ères questions.
1. Une étude de la parité consiste à vérifier si f(-x) = f(x) (fonction paire), ou f(-x) = -f(-x) (fonction impaire) ou aucun des cas précédents. Tu n'as même pas à discuter des valeurs de k, puisque k > 0.
2. Une étude de variation consiste au calcul de la dérivée de la fonction(rappel : (e^u)' = u' e^u), à l'étude du signe de cette dérivée et à une conclusion.

3. la dérivée seconde c'est la dérivée de la fonction dérivée.

4. il faut reconstruire les fonctions en partant de h<k. (comme une étude de sens de variation en 1ère)
5. se déduit de la question 3.

[invitea29b3af3]

EDIT: grillé

Salut

1) pour étudier la parité, tu calcules f(-x). Si f(-x) = f(x) alors f est paire. Si f(-x) = -f(x) alors f est impaire. Autrement, f n'est ni paire ni impaire.

2) si tu veux te faire une idée de la tête qu'a cette fonction va là: http://www.walterzorn.com/grapher/grapher_e.htm et remplace les formules qu'il y a dans la zone de texte par celle ci: exp(-x^2);
Puis tu clique Plot Graph. (c'est le cas k=1 là)
L'exposant de f est toujours négatif, puisque x² est toujours positif et qu'il y a le signe moins. Pour x>0 on a donc une exponentielle qui décroît. La fonction est symétrique par rapport à l'axe y comme tu peux le voir, ce qu'on savait déjà vu le résultat trouvé au point 1 (tu es censé avoir trouvé que f est paire) donc comme f est strictement décroissante sur ]0; +infini[ alors par symétrie est elle strictement croissante sur ] -infini; 0[

3) dérivée d'une exponentielle:
Dans ton cas

4) rappel: donc plus h est grand, plus fh est petit et inversément. Je te laisse conclure.

5) cf ton point 3, remplace k par 1/2
tu calcules alpha.
Pour la tangente c'est f'(x)

[invite60be3959]

EDIT: grillé

pas grave mieux vaut 2 fois qu'une

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteb55a2a32]

Voici ce que j'ai fait. Si vous pouviez juste regarder et vérifier! Merci d'avance.

[invite60be3959]

Voici ce que j'ai fait. Si vous pouviez juste regarder et vérifier! Merci d'avance.

Tout est bon a priori. Jolie travail !

[inviteb55a2a32]

Merci beaucoup pour votre aide, et d'avoir pris le temps de vérifier et de me rassurer sur ce travail!
Un grand merci encore!