DM : Exponentielles

[invitef90dcb08]

Bonjour,

Alors voila je buche depuis assez longtemps mais impossible de resoudre cet exo...


Pour tout réel λ>0, on note fλ la fonction définie sur R

par fλ (x) = ( exp(λx) + exp(-λx) ) / 2λ

a) Démontrer que fλ est paire

J'ai fait ça : e(λ-x)+e(-λ-x) = e(λ) * e(-x) + e(-λ) * e(-x) ....

Mais je viens de me rendre compte en recopiant au propre que c'est e(λ*-x) donc ca change tout et du coup j'arrive pas a démontrer que c'est paire...

b) Variations de fλ

J'ai dit que :

f(x) = 1/2λ * e(λx) + 1/2λ * e(-λx)

f'(x) = 1/2 * e(λx) + 1/2 * (-e(-λx))

Mais après bloqué...

Merci par avance de vos réponses !
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[invitefa784071]

Je ne comprend pas pk tu bloque dans les variations.
Une fois que tu a la dérivée tu dois juste connaitre le signe de ta fonction sur [0;+inf] il te restes a savoir qui de -lx ou de lx est le plus grand (l pour lambda)
Et ben là c'est simple... Je te laisse charcher!
Pour la question je ne vois pas le probleme: tu remplace -x ds chaque exp et donc leurs roles sont inversés (la deuxième devient la première et reciproquement) comme il n'y a pas de changement ailleurs on retrouve bien f(-x)=f(x)


Un peu de culture: cette fonction que tu as défini s'appelle la chainette notée ch(x). Elle ressemble etrangement à cos(x) (pas son graphe mais ses propriétés) et c'est la partie PAIRE de exponentielle (la partie impaire étant sh(x))

[invitea29b3af3]

Salut

Je te rappelle que pour montrer qu'une fonction est paire, il faut montrer que f(-x)=f(x). Donc dans ton cas c'est fait littéralement en 1 ligne (t'as qu'à utiliser la commutativité de l'addition : a+b = b+a)

Pour ton étude des variations, tu peux te contenter d'étudier le cas x>0, puisque la fonction est paire. Ce sera simplement symétriquement pareil pour x<0.

EDIT: grillé.

[invitef90dcb08]

Grillé ?

En attendant merci beaucoup c'était trop simple =/...

Je suis malade donc bon on va dire que c'est ça...

Sinon j'ai bien réussis à prouver la parité et à trouver le signe de f'(x) sur [0, +inf[ avec votre aide...

Merci encore =)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea29b3af3]

Grillé ?

Oui, grillé par sender qui a répondu 1 minute avant moi

[invitef90dcb08]

Je crois que je galère vraiment avec les exponentielles

J'ai un autre exo que je comprend pas =/

a) 1- ( ( e(-x)-1 ) / ( e(-x)+1 ) ) à simplifier.

Voila ce que j'ai fait : ( e(-x)+1-e(-x)-1 ) / ( e(-x)+1 ) (réduit même dénominateur aprés j'ai dit que 1 et -1 c'était e(0) mais à la fin je me retrouve avec 1 / e(-x) + 1

Et l'exo est un QCM et cette solution n'est pas proposé donc je voudrais savoir ce que j'oublie ou bien ou je me suis trompé...

b) Ensuite j'ai l'équation : (e(x)-1)(1-x)≥0

Donc quand j'essaye de la resoudre je me retrouve avec des e(x)-x*e(x)-e(0)-x*e(0)≥0

Et je ne sais pas quoi faire après =/...

c) Ensuite j'ai une dérivée à faire :

f(x) = x*e(2x)-1

f'(x)= e(2x)-1+x(2e(2x))
= e(2x)-1+2*x*e(2x)

? Après bloqué encore... =/

En attendant je vais au médecin donc à tout à l'heure et merci vraiment beaucoup par avance... !

[invitefa784071]

Il ne devrait pas ya voir de probleme en mettant au même denominateur tu trouves 2/(e(-x)+1) (soustraction niveau maternelle!!) (je pense que tu as oublié les parenthèses de ta soustraction qui est vraiment simple)
b) Ensuite tu sais que exp>0 sur R et même >1 sur [0;+inf[ (<1 sur [-inf;0] et là c'est (presque) fini.
La fonction est de la forme uv+a avec u=x; v=e(2x) et a = -1
la dérivée est donc u'v+uv'+a'(=0)=e(2x)+2x(e(2x)) =e(2x)(1+2x).

Petite blague : f(x) et exp(x) sont sur un bateau. Un moment la barre se casse et f(x) est pris de panique:
"on dérive!!!" crie-t-il
Alors exponentiel repond "Qu'est ce que ça change"...