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DM : Exponentielles



  1. #1
    Jordaneque

    DM : Exponentielles


    ------

    Bonjour,

    Alors voila je buche depuis assez longtemps mais impossible de resoudre cet exo...


    Pour tout réel λ>0, on note fλ la fonction définie sur R

    par fλ (x) = ( exp(λx) + exp(-λx) ) / 2λ

    a) Démontrer que fλ est paire

    J'ai fait ça : e(λ-x)+e(-λ-x) = e(λ) * e(-x) + e(-λ) * e(-x) ....

    Mais je viens de me rendre compte en recopiant au propre que c'est e(λ*-x) donc ca change tout et du coup j'arrive pas a démontrer que c'est paire...

    b) Variations de fλ

    J'ai dit que :

    f(x) = 1/2λ * e(λx) + 1/2λ * e(-λx)

    f'(x) = 1/2 * e(λx) + 1/2 * (-e(-λx))

    Mais après bloqué...

    Merci par avance de vos réponses !

    -----
    Jordane

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  4. #2
    sender

    Re : DM : Exponentielles

    Je ne comprend pas pk tu bloque dans les variations.
    Une fois que tu a la dérivée tu dois juste connaitre le signe de ta fonction sur [0;+inf] il te restes a savoir qui de -lx ou de lx est le plus grand (l pour lambda)
    Et ben là c'est simple... Je te laisse charcher!
    Pour la question je ne vois pas le probleme: tu remplace -x ds chaque exp et donc leurs roles sont inversés (la deuxième devient la première et reciproquement) comme il n'y a pas de changement ailleurs on retrouve bien f(-x)=f(x)


    Un peu de culture: cette fonction que tu as défini s'appelle la chainette notée ch(x). Elle ressemble etrangement à cos(x) (pas son graphe mais ses propriétés) et c'est la partie PAIRE de exponentielle (la partie impaire étant sh(x))

  5. #3
    fiatlux

    Re : DM : Exponentielles

    Salut

    Je te rappelle que pour montrer qu'une fonction est paire, il faut montrer que f(-x)=f(x). Donc dans ton cas c'est fait littéralement en 1 ligne (t'as qu'à utiliser la commutativité de l'addition : a+b = b+a)

    Pour ton étude des variations, tu peux te contenter d'étudier le cas x>0, puisque la fonction est paire. Ce sera simplement symétriquement pareil pour x<0.

    EDIT: grillé.
    La pie niche-t-elle haut ? Oui, la pie niche haut.

  6. #4
    Jordaneque

    Re : DM : Exponentielles

    Grillé ?

    En attendant merci beaucoup c'était trop simple =/...

    Je suis malade donc bon on va dire que c'est ça...

    Sinon j'ai bien réussis à prouver la parité et à trouver le signe de f'(x) sur [0, +inf[ avec votre aide...

    Merci encore =)
    Jordane

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #5
    fiatlux

    Re : DM : Exponentielles

    Citation Envoyé par Jordaneque Voir le message
    Grillé ?
    Oui, grillé par sender qui a répondu 1 minute avant moi
    La pie niche-t-elle haut ? Oui, la pie niche haut.

  9. #6
    Jordaneque

    Re : DM : Exponentielles

    Je crois que je galère vraiment avec les exponentielles

    J'ai un autre exo que je comprend pas =/

    a) 1- ( ( e(-x)-1 ) / ( e(-x)+1 ) ) à simplifier.

    Voila ce que j'ai fait : ( e(-x)+1-e(-x)-1 ) / ( e(-x)+1 ) (réduit même dénominateur aprés j'ai dit que 1 et -1 c'était e(0) mais à la fin je me retrouve avec 1 / e(-x) + 1

    Et l'exo est un QCM et cette solution n'est pas proposé donc je voudrais savoir ce que j'oublie ou bien ou je me suis trompé...

    b) Ensuite j'ai l'équation : (e(x)-1)(1-x)≥0

    Donc quand j'essaye de la resoudre je me retrouve avec des e(x)-x*e(x)-e(0)-x*e(0)≥0

    Et je ne sais pas quoi faire après =/...

    c) Ensuite j'ai une dérivée à faire :

    f(x) = x*e(2x)-1

    f'(x)= e(2x)-1+x(2e(2x))
    = e(2x)-1+2*x*e(2x)

    ? Après bloqué encore... =/

    En attendant je vais au médecin donc à tout à l'heure et merci vraiment beaucoup par avance... !

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  11. #7
    sender

    Re : DM : Exponentielles

    Il ne devrait pas ya voir de probleme en mettant au même denominateur tu trouves 2/(e(-x)+1) (soustraction niveau maternelle!!) (je pense que tu as oublié les parenthèses de ta soustraction qui est vraiment simple)
    b) Ensuite tu sais que exp>0 sur R et même >1 sur [0;+inf[ (<1 sur [-inf;0] et là c'est (presque) fini.
    La fonction est de la forme uv+a avec u=x; v=e(2x) et a = -1
    la dérivée est donc u'v+uv'+a'(=0)=e(2x)+2x(e(2x)) =e(2x)(1+2x).

    Petite blague : f(x) et exp(x) sont sur un bateau. Un moment la barre se casse et f(x) est pris de panique:
    "on dérive!!!" crie-t-il
    Alors exponentiel repond "Qu'est ce que ça change"...

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