Bonsoir. J'ai un problème avec l'exercice d'arithmétique suivant. J'ai besoin d'aide s'il vous plait.
- Démontrer par récurrence que quelque soit n element de N, (5^n)-(3^n) est divisible par 49.
- En déduire que si l'entier n n'est pas multiple de 3 alors (5^2n)+(15^n)+(3^2n) est divible par 49.
J'ai pu trouver quelque chose sur la première question mais la deuxième question me bloque.
Salut,
déja il me semble que le premier résultat est faux (n=3, c'est Ok, mais n=4, ca ne marche pas)..... donc le "en déduire" va être dur. Car en revanche, j'ai l'impression que le second résultat est vrai !
Bonjour
Donc comment répondre à la deuxième question sans le "en déduire"?
Es-tu sûr, certain, convaincu etc. que l'énoncé ne donne pas une contrainte supplémentaire à n pour la première question, du genre :" n mulitple de 3" ?
On trouve des chercheurs qui cherchent ; on cherche des chercheurs qui trouvent !
Bonsoir
J'en suis sûr certain et convaincu. Il n'ya pas d'ereur dans l'enoncé que je vous ai proposé.
J'ai pu répondre à la première question mais c'est la deuxième question que je n'arrive pas à répondre
Tu ne peux pas répondre à la deuxième question en déduction d'une réponse erronée à la première
On trouve des chercheurs qui cherchent ; on cherche des chercheurs qui trouvent !
c'est un peu débile ta première question car il suffit de dire que 5^0-3^0=0 pour te prouver qu'il existe un entier naturel n tel que 5^n-3^n n'est pas divisible par 49.
En revanche on peut montrer que pour tout n appartenant à {3k | k appartient à IN*}, 5^n-3^n est divisible par 49
En effet, 5^0 est congru 1 modulo 49
5^1 est congru 5 modulo 49
5^2 est congru 25 modulo 49
5^3 est congru 27 modulo 49
5^3k est congru 27^k modulo 49
3^3k est congru 27^k modulo 49
5^3k-3^3k est congru 27^k-27^k est congru 0 modulo 49
Donc pour tout n appartenant à {3k | k appartient à IN*}, 49|(5^n-3^n)
J'ai fait une erreure désolé, je reprends
il suffit de dire que 5^1-3^1=2 pour te prouver qu'il existe un entier naturel n tel que 5^n-3^n n'est pas divisible par 49.
En revanche on peut montrer que pour tout n appartenant à {3k | k appartient à IN}, 5^n-3^n est divisible par 49
En effet
5^0-3^0=0 est congru 0 modulo 49
5^3 est congru 27 modulo 49
5^3k est congru 27^k modulo 49
3^3 est congru 27^k modulo 49
3^3k est congru 27^k modulo 49
5^3k-3^3k est congru 27^k-27^k est congru 0 modulo 49
Donc pour tout n appartenant à {3k | k appartient à IN}, 49|(5^n-3^n)
essayer l identite a^3_b^3 =(a-b)(a^2+ab+b^2) en prenant a=5^n et b=3^n et vous arriverez
