Géométrie de l'espace : sécante à deux droites gauches

[invited5e08241]

Je suis face à un petit problème qui me turlupine depuis quelque temps déjà et j'ai beau l'avoir repris à mainte reprise, je reste toujours bloqué.

Voici l'énoncé :

On donne le point P(0;-1;2) et deux droites d₁ et d₂ :


Déterminer une représentation paramétrique de la droite d qui passe par P et qui coupe chacune des deux droites d₁ et d₂.
Puis déterminer les points d'intersection de cette droite avec d₁ et d₂.

J'ai d'abord commencé par étudier les droites d₁ et d₂ pour m'aperçevoir qu'elles étaient gauches. Puis j'ai fait le produit vectoriel de leur vecteur directeur pour obtenir un vecteur directeur d'une droite qui leur était sécante. J'ai ensuite construit cette droite passant par le point P pour finir par obtenir la droite :


Le problème est que ma réponse est fausse. Car lorsque je cherche le point d'intersection de la droite d avec les deux autres, mon système est impossible...
Qu'y a-t-il de faux dans mon raisonnement ?

Merci,
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[Jeanpaul]

Le produit vectoriel te donnera une droite perpendiculaire à d1 et d2 mais ça n'avance à rien.
On peut écrire la droite d comme x = k m ; y = -1 + k n ; z = 2 + k.1
Car on peut prendre une des composantes arbitrairement en croisant les doigts pour qu'elle ne vaille pas zéro.
Tu écris que d et d1 sont sécantes, avec la valeur k du paramètre et ensuite que d et d2 sont sécantes avec la valeur k' du paramètre.
Ca te fait 6 équations à 6 inconnues : a, b, k, k', m et n
Ca se débrouille assez facilement et on trouve notamment m et n.

[invited5e08241]

J'ai fait exactement comme vous avez dit et j'ai réussi merci bien ^^.

Par contre, il y a juste quelque chose que je n'ai pas compris. On est parti du principe que le vecteur directeur de d était (m;n;1). Avec cela, j'obtiens un vecteur directeur final de composantes (0;-1;1) qui est effectivement colinéaire à celui de la réponse.

La première composante étant égal à 0, si l'on avait posé comme vecteur directeur de d(1;m;n) le calcul n'aurait pas été possible. Ce qui m'amène donc à me demander s'il n'y a pas un moyen plus sûr ?

[Jeanpaul]

Je ne trouve pas que la première composante vaut zéro. Vérifie tes calculs.
Si la première composante valait zéro, cela voudrait dire que l'équation de d est x=0 et cela ne colle pas, on le voit assez bien.

[A voir en vidéo sur Futura]

[sylvainc2]

Le point P et la droite d1 forment un plan, P et d2 forment un autre plan. Comme la droite recherchée doit être commune à ces deux plans, il suffit de trouver le vecteur intersection des plans, c'est le vecteur directeur de la droite recherchée.
Je trouve aussi (0,-1,1).

[Jeanpaul]

J'ai refait mes calculs, ça me paraît juste, en effet.

[invite2b14cd41]

Quelle chance !!!! Je m'apprêtais à poser EXACTEMENT la même question (à part les valeurs qui changent) ...