Salut, je viens de faire un exercice ou l'on me demandait de prouver que: arctan(2x/(1-x2))=pi+2*arctan(x) pour x appartient à ]-inf;-1[
J'ai donc calculer la tangente des 2 membres, pour en déduire l'égalité...
Cependant, ce qui m'intrigue, c'est que si mon raisonnement était correct, donc il est vrai quelque soit x dans R.. D'ou l'inutilité d'une des hypothèse de l'énoncé!
SVP, aidez-moi, l'épreuve de maths du bac a lieu demain !
y'a de l'arctan au bac?
la méthode habituelle
on dérive les deux
on trouve la même chose -> elles sont égales à une constante près sur chaque ouvert (c'est à dire arctan(2x/(1-x2))=pi+2*arctan(x)+a1 sur ]-infini,-1[, arctan(2x/(1-x2))=pi+2*arctan(x)+a2 sur ]-1,1[, et arctan(2x/(1-x2))=pi+2*arctan(x)+a3 sur ]1,Infini[ où chaque constante est à priori différente (et c'est le cas!))
on trouve les constantes en étudiant en un point du domaine de definition (limite en l'infini, 0, en 2....au choix)
pour ta méthode expliques nous en détails ce que tu fais, je suppose qu'a un moment tu simplifies un peu vite avec une racine de 1-x² mais ça n'expliquerai pas tous....
ah non je sais!
tan(arctan(2x/(1-x2)))=tan(pi+2*arctan(x)) est vrai pour tout x différent de 1 et -1
tan(x)=tan(y) ne veut pas dire que x=y!
Voilà c'est ce que j'ai fait ... et alors, c'est faux ?Envoyé par SchliesseB
(oui, il y a de l'arctan au bac libanais)
Je pense que c'est correct, car comme x est sur ]-inf;-1[, donc on est dans le 1er cadran pour les 2 membres. ?
de tan(x)=tan(y), tu ne peux pas en déduire que x=y
je vais faire plus choquant
montrons que -1=1
je met au carré
(-1)²=1²
ça marche , j'en déduit que -1=1
et même mieux
montrons que a=b pour tout a et b
je multiplie par 0
0=0
c'est vrai, donc a=b
(je fais exprès choquant)
ta méthode ne va pas ou alors de tan(x)=tan(y), tu conclus x=y+k*Pi avec k une constante (qui sera à priori différente sur ]-infini,-1[ , ]-1,1[ et ]1,infini[)
Je sais bien ...de tan(x)=tan(y), tu ne peux pas en déduire que x=y
je vais faire plus choquant
montrons que -1=1
je met au carré
(-1)²=1²
ça marche , j'en déduit que -1=1
et même mieux
montrons que a=b pour tout a et b
je multiplie par 0
0=0
c'est vrai, donc a=b
(je fais exprès choquant
ta méthode ne va pas ou alors de tan(x)=tan(y), tu conclus x=y+k*Pi avec k une constante (qui sera à priori différente sur ]-infini,-1[ , ]-1,1[ et ]1,infini[)
Mais comme j'ai ajouté dans mon post précédent : "Je pense que c'est correct, car comme x est sur ]-inf;-1[, donc on est dans le 1er cadran pour les 2 membres" ...
J'ai en effet été très stupide de croire que : "tan(x)=tan(y) => x=y" , c'est une erreur monumentale et je vous prie de m'excuser
si tu rajoutes: 'on est dans le premier cadran pour les deux membres quand x est dans ]-infini,-1[' (que je n'avais pas vu...) alors oui c'est juste.
et tu vois donc aussi où est l'erreur quand tu veux 'généraliser' à R privé de -1 et 1
Merci de m'avoir éclairé. Au revoir.
Sinon une solution qui évite de passer par la dérivée est d'utiliser les complexes.
Pour ceux que ça intéresse :
On a x<-1. On pose z=1+ix et t=arg(z) avec t dans ]-pi/2,pi/2].
On a tan(t)=x soit t=arctan(x) donc t appartient à ]-pi/2,-pi/4[
z²=(1-x²)+2ix ; on pose u=arctan(2x)/(1-x²). 2x et 1-x² sont négatifs, donc déjà u appartient à [0,pi/2] et de plus un argument de z² dans [-pi,-pi/2] est -pi+u.
Or 2t est aussi un autre argument de z².
On a 2t dans [-pi,-pi/2] et -pi+u dans [-pi,-pi/2] donc 2t=-pi+u.
Ce qui donne bien arctan(2x/(1-x²))=pi+2*arctan(x)
Ce ne serait pas plutot t dans ]-pi/2;0[ ? (en fait, j'ai raté l'épreuve de maths
En fait si je précisais t dans ]-pi/2,pi/2], c'était pour que t soit défini de façon unique (sinon, on pourrait le choisir modulo 2pi) et qu'il était bien donné par arctan(x) (si il était dans ]pi/2;3pi/2], ca serait pi+arctan(x)).
Par contre j'aurais du préciser que l'on sait qu'il est compris dans ]-pi/2,pi/2] car la partie réelle de z est positive.
Après en effet, de la même façon, on pouvait dire que sa partie imaginaire était négative et que donc il était compris dans ]-pi/2;0[.
