Exercices Suites

[invite3e5f96c0]

Bonjour à tous, notre professeur de maths nous a donnés un exercice sur les suites mais il y a certaines questions qu je n'arrive pas à résoudre... Pourriez-vous-m'expliquer les résultats, merci.

Enoncé : Soit (Un)_{n appartient à l'ensemble N} et :
U₀=3/2
U_n+1=2/(3-U_n)

1) Calculer la dérivée, établir le tableau de variation, et courbe de f : R-{3} =>R,x => 2/(3-x)

Donc les résultats sont mais je ne les comprend pas : f'(x)=2/(3-x)²

Tableau de variation :

x / 3
------------------------------------------
f'(x) / + // +
f(x) / 0 ==>+infini // -infini ==> 0

2) En déduire que f ([1;3/2]) C [1;3/2]
autrement dit : si x appartient [1;3/2], alors f(x) appartient [1;3/2]

Résultat : sin[1;3/2], f croissante : 1 <x<3/2 ==> f(1)<f(x)<f(3/2) ==> 1<f(x)<f(3/2)<3/2

Donc f(3/2) = 4/3

3) En déduire pour tout n appartenant à N, U_n appartient [1;3/2].

Résultat : U_n+1 =f(U_n) et u₀ appartient [1;3/2]

Merci d'avance !!
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[invite1e1a1a86]

tu veux une explication des résultats? pas banals...

alors:
-le domaine de définition de f est facile à trouver
-la dérivée de f s'obtient en utilisant la dérivé des fonctions composées (f(g(x))'=g'(x)*f'(g(x)) ) en composant f(x)=1/x (de dérivée connue) et g(x)=3-x )

-le signe de f' est facile alors à trouver
-on connait ainsi le sens de variation de f, reste à trouver les limites en l'infini et en 3, qui sont faciles (de la forme 1/infini, 1/-infini, 1/0+ et 1/0-)

-f est croissante donc si a<x<b => f(a)<f(x)<f(b) (pour peu que a et b soient tout deux >3 ou tout deux <3) (définition d'une fonction croissante) on calcule f(1) et f(3/2) et on a directement le résultat.

-par récurrence
Uo est bien dans [1,3/2]
si un est dedans, puisque un+1=f(un), et par la question précédente, un+1 est aussi dans [1,3/2]
et c'est fini