De la probabilité d'obtenir un point situé au dessus de la parabole

[Assiliza]

Bonjour,

Hier, après avoir longuement réfléchi à un problème mathématique que je m'étais posé, j'ai décidé de le poser à mon professeur de maths (je n'avais jusqu'à ce jour pas la solution au problème). Le problème est le suivant: on prend un point au hasard sur tout le plan quel est la probabilité pour que celui-ci se situe au dessus de la parabole d'équation y=x² ? J'y ai réfléchi avec le professeur avant de proposer une méthode :

• Considérer la parabole dans un carré ayant pour centre l'origine du repère et dont les côtés étaient parallèles aux axes avec pour longueur de côté c.
• Puis, calculer l'aire à l'aide d'intégrales l'aire situé au dessus de la parabole, la diviser par l'aire totale du carré.
• Finalement faire tendre c vers l'infini, le résultat obtenu correspond à la probabilité souhaitée (sauf erreur).

Après calculs vérifiés et revérifiés, la probabilité est de 0 . Le résultat me semblait pour le moins surprenant (à mon prof aussi). Cependant, hier soir, après avoir utilisé Geogebra, tracé la parabole et dézoomé, la parabole ne ressemblant plus qu'à un fin trait, je me suis rendu à l'évidence.


Le lendemain, et on arrive à la fin du discours, le prof m'annonce que le problème est irrésoluble, étant donné qu'il est, selon lui, impossible de prendre un point au hasard sur le plan. Je vous avouerais que la méthode de nier le problème en invalidant le concept même du problème m'a paru pour le moins choquant. Pour le professeur, il est impossible de prendre un réel au hasard mais pas sur un intervalle donné puisque la loi de probabilité ne peut lui attribuer une quantité finie sans que la somme de toutes les probabilité soit infinie.

J'ai donc dit que l'on pouvait donner à tous les points une même probabilité non pas nulle mais infinitésimale. Le professeur a donc répété que ce n'était pas possible sans pour autant expliquer la raison. Je préciserais d'ailleurs qu'il a voulu me faire croire que la probabilité de prendre un point situé dans un cercle de rayon était non nulle.


L'objet de ce sujet est donc de, soit de donner raison à mon professeur soit de prouver l'existence de telle probabilité, le tout se fondant sur l'utilisation des limites .

"Annexe"
D'autres problèmes arrivent au même genre de situation qui sont absurdes à l'intuition. On prend un point du plan; quel était la probabilité de tomber sur ce point en particulier? Elle est encore une fois infinitésimale (et pourtant, on tombe dessus). C'est peut-être là la différence entre nul et infinitésimal.
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[Elie520]

La probabilité de tomber au-dessus de ta parabole tend effectivement vers zéro.

J'avoue que pour ce qui est de l'avis de ton prof qui nie la possibilité du problème, je trouve ca effarant... et bien sûr qu'on peut choisir de prendre un point AU HASARD dans le plan, cela revient à choisir deux nombres réels au hasard, et à en faire une abscisse et une ordonnée... On travail donc ici avec deux variables aléatoires continues. Et dans ce type d'étude, on a l'axiome suivant :

Si X est une variable aléatoire continue qui prend toutes les valeurs d'un intervalle I et p la loi de probabilité de X, alors :

Donc dans ton cas la probabilité de tomber sur un point déterminé du plan est exactement NULLE... En effet, imaginons que tu prennes un point du plan au hasard, si tu zoom à l'infini, tu t'apercevras qu'il y a toujours moyen de le distinguer de tout autre point....

Autre exemple :
Imaginons que j'ai cours à 9h, et que j'arrive à 9h05 environ. On pourra toujours dire que je suis arrivé à 9h05min01 sec, ou encore 9h05min01,000214005605.....sec , on ne sait pas. Donc la probabilité d'arriver exactement à l'heure à laquelle je suis arrivé est nulle...

Je ne sais pas si je te suis d'une grande aide là...

[Elie520]

Le professeur a donc répété que ce n'était pas possible sans pour autant expliquer la raison.

Tu lui dira que les chinois font même des trucs encore plus fou, ils les colorient TOUS ! http://forums.futura-sciences.com/ma...se-1986-a.html

[Benrom]

Bonjour

Je n'ai pas de réponses à ta question, mais je trouve ce problème amusant.

Je ne sais pas si ça rejoint exactement ce qu'a dit ton prof, et j'avoue que je ne suis pas suffisamment pointu en maths pour affirmer ça, mais le principe de calculer une probabilité sur un univers qui est non défini puisqu'il n'est pas fini me paraît étrange, bien que l'idée de départ soit intéressante. Ce que je veux dire, et c'est purement intuitif, donc p-e faux, c'est que en faisant tendre c vers l'infini, tu donnes une valeur très grande certes, mais non définie de l'aire totale, et donc de l'univers dans lequel tu calcules la probabilité.

Après, on pourrait me rétorquer qu'on sait pourtant calculer des intégrales de fonctions de - l'inifini à +l'infini, donc j'avoue que je ne sais pas trop ce qu'il en est ici.

En tout cas, la valeur 0 peut se comprendre étant donnée l'immensité du plan comparée à l'aire au-dessus de la parabole, car comme tu dis, si tu reculais à l'infini par rapport au plan, la parabole ne se représenterait que par un fine ligne proche de l'axe des ordonnées.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Assiliza]

Merci bien; toute réponse est la bienvenue et celle-là ne fait que confirmer ce que je pensait. Je ne savais pas, si en écrivant le message, je m'étais bien comprendre. Mais merci.

[Benrom]

Tout à fait d'accord avec Elie520 sur la probabilité nulle d'une variable aléatoire continue pour une valeur précise.

[Assiliza]

Il me semble pour répondre à Benrom, que notre seul moyen pour appréhender l'infini est bien de prendre des valeurs immensément grandes; c'est que la notion de limites s'appuie sur ces concepts. Le tout est, et c'est ce qui constitue la faille du problème, qu'il existe plusieurs manières d'atteindre l'infini. Ainsi, si j'avais pris au lieu d'un carré, un rectangle respectivement de cotés c et 2c, j'aurais certainement obtenu un résultat différent. L'infini est une notion très ambigüe.

[Benrom]

C'est bien possible en effet, je ne conteste pas la méthode en elle-même (en fait je ne conteste rien du tout ^^), je me posais juste la question de l'utilisation de du concept de l'infini dans le domaine des probabilités, qui me parait étrange.
Après je suis bien d'accord avec toi sur les notions de limites, mais ce qui me dérange, c'est de faire un calcul (désolé je me répète, mais je sais pas comment le dire autrement :s) de probas sur un univers qui n'est pas vraiment défini, puisqu'infini.
Je suis p-e pas très clair, mais je ne cherche pas spécialement de réponse à ça, à moins que vous ne l'ayez.. Si on était à l'oral, je dirais que j'ai dit ça parce que je pensais tout haut ^^.

[Assiliza]

Personellement, l'utilisation de ce genre de probabilités ne me gêne pas plus que ça. C'est comme les problèmes où l'on utilise les fléchettes; le nombre de points étant infini, on arrive au même genre de situation.

[danyvio]

D'autres problèmes arrivent au même genre de situation qui sont absurdes à l'intuition. On prend un point du plan; quel était la probabilité de tomber sur ce point en particulier? Elle est encore une fois infinitésimale (et pourtant, on tombe dessus). C'est peut-être là la différence entre nul et infinitésimal.

Entre la probabilité (qui est nulle) de tomber sur un point précis choisi d'avance, et la proba (p=1, qui est alors une certitude !) que l'on vient de tomber sur un point précis qu'on vient de constater, il y a un monde !

[prgasp77]

Bonjour, je vais d'abord tendre à démontrer que ton prof de math à raison sur un point, puis proposer une résolution alternative à ton problème.

Soit
la fonction de qui vérifie

Ainsi,


On note

Démontrer que ta méthode de résolution est consistante revient à démontrer que l'égalité est valable pour . Et j'ai l'intuition que cela est faux ... désolé ( tends simplement vers ).


En revanche, tu peux te demander s'il y a autant de points présent au dessus qu'en dessous de la parabole, et j'ai l'intuition que c'est le cas. Autrement dit, il doit exister une bijection de dans . Il ne reste plus qu'à la trouver .

[prgasp77]

D'ailleurs, cette bijection est assez évidente :


J'ai donc associé deux à deux des points au dessus de la parabole avec des points sous la parabole. Par le même raisonnement qui conclut à dire qu'il y a autant de chambre que de client dans une auberge qui possède un nombre infini de chambres, mais toutes occupées par un client, on peut ici conclure qu'il y a autant de points au dessus de la parabole que de points en dessous.

Donc, s'il était possible de choisir un point uniformément au hasard sur le plan, il y aurait autant de chance qu'il soit au dessus qu'au dessous de la parabole.

Enjoy!

[Assiliza]

Juste une question: pourquoi choisis-tu la valeur de la fonction f indice a comme étant égale à 1/2a? A quoi correspond cette fonction ?

[prgasp77]

Parce que c'est la seule fonction constante sur [-a;a] qui vérifie (2) (dont l'intégrale sur son domaine vaut 1). C'est donc la fonction de densité de probabilité de la loi uniforme sur [-a;a].

[Assiliza]

Dans ce cas, la démonstration revient au même que de dire que la limite en +l'infini de 0*x est différente de 0 (si je ne m'abuse). Si l'on en revient à la démonstration que tu as faite, en utilisant la définition d'une limite, on voit que que la propriété de l'intégrale égale à 1 étant vérifiée par tous les réels aussi grands qu'il soit, elle doit l'être en +l'infini. On en revient ainsi à mon premier exemple 0*x=0 pour tout réel x donc sa limite en +l'infini est 0 car pour tout réel si grand qu'il soit vérifie cette propriété.

[prgasp77]

Dans ce cas, la démonstration revient au même que de dire que la limite en +l'infini de 0*x est différente de 0 (si je ne m'abuse). Si l'on en revient à la démonstration que tu as faite, en utilisant la définition d'une limite, on voit que que la propriété de l'intégrale égale à 1 étant vérifiée par tous les réels aussi grands qu'il soit, elle doit l'être en +l'infini. On en revient ainsi à mon premier exemple 0*x=0 pour tout réel x donc sa limite en +l'infini est 0 car pour tout réel si grand qu'il soit vérifie cette propriété.

Justement non. Ce n'est pas parce qu'une propriété est vraie pour n'importe quel réel, aussi grand qu'il soit, que le passage à la limite conserve la véracité de la propriété. L'exemple que j'ai donné est justement un contre-exemple : est évidement la fonction nulle. La propriété (2) est donc fausse en .
Tu parlais d'utiliser la définition de la limite pour vérifier (2) en , je t'en défi !

Cordialement,

[Assiliza]

Eh bien! D'accord je le relève, tu veux démontrer :
que la limite, quand a tend vers +l'infini, en +l'infini de l'intégrale (de -a à a) de 1 que divise 2*a en fonction de x soit +l'infini, non? Fixons un réel epsilon tel que epsilon>1. En ce cas, il doit exister un réel A tel que pour tout a>A, la fonction dépasse epsilon selon la vraie définition de la limite; or, mon intuition me dit qu'un tel nombre a n'existe pas. Arrête-moi si je me trompe.

[SchliesseB]

et si je prenais un rectangle de coté c (en abscisse) et c² (en ordonnée) centré sur 0?

le problème de ton exercice, c'est que tu ne donnes pas la loi selon laquelle tu tires ton point aléatoirement. et celle ci n'est vraiment pas évidente à trouver... car, on ne peut pas tirer un nombre réel de manière uniforme.

ça ressemble en certain point à http://fr.wikipedia.org/wiki/Paradoxe_de_Bertrand

Donc désolé, pour moi c'est ton professeur qui a raison.

De plus, je tire un nombre aléatoirement (de manière uniforme) dans [0,1]
Quelle est la probabilité de tomber entre a et b? -> b-a
Quelle est la probabilité de tomber dans ]a,b[ ? -> b-a également
Quelle est la probabilité de tomber sur a? -> 0 et rigoureusement 0 (et pas infinitésimale ou quoi que ce soit) pourtant, la proba de tomber en a à e près n'est pas nulle (2e pour peu que a-e et a+e appartiennent à [0,1] )

[prgasp77]

Eh bien! D'accord je le relève, tu veux démontrer :
que la limite, quand a tend vers +l'infini, en +l'infini de l'intégrale (de -a à a) de 1 que divise 2*a en fonction de x soit +l'infini, non? Fixons un réel epsilon tel que epsilon>1. En ce cas, il doit exister un réel A tel que pour tout a>A, la fonction dépasse epsilon selon la vraie définition de la limite; or, mon intuition me dit qu'un tel nombre a n'existe pas. Arrête-moi si je me trompe.

Je ne comprends pas bien ce que tu veux dire ... Tu cherches à démontrer ou informer que (2) est vraie en ? Car je te promets qu'elle est fausse :



Ainsi,


En revanche, peut être en regardant du coté des distribution on pourrait en trouver une qui satisfasse les prérequis d'une densité de probabilité uniforme sur ...

[SchliesseB]

Il faut bien définir votre façon de faire la limite



mais


Je ne connais pas de distribution qui correspond à ce que tu cherches.
Votre problème n'a pas de réponse tant que vous ne donnez pas une façon de tirer au hasard votre point/ votre façon de passer d'un domaine fini à infini.

[prgasp77]

Tout à fait. Le problème serait valide seulement si la limite suivante existait :


Mais comme tu viens de l'expliciter, ce n'est pas le cas. Concernant la distribution, ce n'était qu'une idée hasardeuse. Mais que peux-tu dire de la conclusion de mon message précédent (#12) ? J'aimerais avoir un avis.

[SchliesseB]

la limite que tu écris existe bien (et vaut 1).

Pour le message 12, on peut dire que l'ensemble des points au dessus de la parabole à le même cardinal que ceux en dessous (à savoir le cardinal de R^2) mais bon, on ne peut rien en conclure puisque on n'a pas défini "le hasard"

il y a "autant" de points entre [-1,1] et [-2,2] aussi... (bijection x-> 2x)

[SchliesseB]

j'ai même mieux (je crois)

Toutes parties infinies de R^2 à le cardinal de R^2 et donc est en bijection avec les points au dessus de la parabole.
Ainsi on aurait la même probabilité de toucher toutes les parties infinies.

Avec ton raisonnement on trouve 1/2 pour être au dessus de la parabole. mais aussi 1/2 pour être au dessus de la parabole du coté x>0, 1/2 pour tomber sur un couple (x,0) (pourtant la mesure de Lesbegue de cet ensemble est nulle)....

Cela provient du fait que cardinal <-> probabilité ne sont pas liés (sauf dans le cas discret)
La probabilité est en fait relié à la mesure de l'ensemble pour peu que
que l'on ai défini une mesure de probabilité avant! (ce qui n'est pas dans notre cas)

edit: on peut même montrer mieux car il existe des parties finies qui ont même cardinal que R^2, je pense à U=]-1,1[ x {0} (bijection avec R avec Arcth, puis bijection en entrelacant les décimales exemple f(9871,23456....)=(81,35...;97 2,34)) et donc j'aurai autant de chance de tirer un nombre dans U que dans R^2/U ce qui, à part mesure farfelu, est peu probable...

edit2: j'ai peut être fait des erreurs

[prgasp77]

Exact ... et amusant

[Jeanpaul]

D'autres problèmes arrivent au même genre de situation qui sont absurdes à l'intuition. On prend un point du plan; quel était la probabilité de tomber sur ce point en particulier? Elle est encore une fois infinitésimale (et pourtant, on tombe dessus). C'est peut-être là la différence entre nul et infinitésimal.

Très troublante la question posée, mais cet annexe est au moins aussi intéressant.
Je le reformule un peu différemment : on prend un nombre réel au hasard. Quelle est la probabilité pour que ce nombre soit inférieur à 3 ?
Parce qu'alors, la parabole est une généralisation : on prend x au hasard puis y au hasard aussi ; quelle est la probabilité pour que y>x² ?
J'avoue ne pas savoir répondre.

[Elie520]

Je pense derrière ce problème qu'il y a un lien avec le nombre d'aleph et la comparaison des ensembles à cardinal infini.
Par exemple, je crois (j'ai bien dis je crois) que correspond au cardinal de . Mais on a aussi démontré que l'ensemble a un cardinal égal à celui de : En effet, on peut associer à tout nombre de sa moitié, et on obtient le résultat.
Plus dérangeant, on peut démontrer qu'il y a autant d'entiers relatifs que d'entiers naturels en envoyant tous les nombres pairs de sur tous les entiers naturels (comme fait dans le premier exemple), et en envoyant tous les entiers impairs sur les entiers négatifs. on a ainsi
Cependant, ce que j'ai tenté d'expliquer a des limites, et on montre que le cardinal de est strictement plus grand que celui de et vaut

Ainsi, si nous tirons un nombre au hasard dans , la probabilité de tomber sur un entier est strictement nulle, alors que si nous tirons un entier relatif au hasard, la probabilité de tomber sur un multiple de 3622054 est la même que celle de tomber sur un entier naturel pair...

Si je vous parle de cela, c'est que je pense qu'il y a une analogie possible dans le plan avec notre problème. Maintenant, de là à la faire... Je ne maitrise pas du tout ce dont je viens de vous parler, alors il n'y a surement que des absurdités... cependant, on sait jamais

Pour plus d'infos sur : http://fr.wikipedia.org/wiki/Aleph_%28nombre%29

[Médiat]

Par exemple, je crois (j'ai bien dis je crois) que correspond au cardinal de .

C'est la définition de .

est aussi le cardinal de pour tout n entier (donc des rationnels)

Cependant, ce que j'ai tenté d'expliquer a des limites, et on montre que le cardinal de est strictement plus grand que celui de et vaut

Oui, puisque est isomorphe (il existe une bijection) à l'ensemble des parties de

Ainsi, si nous tirons un nombre au hasard dans , la probabilité de tomber sur un entier est strictement nulle, alors que si nous tirons un entier relatif au hasard, la probabilité de tomber sur un multiple de 3622054 est la même que celle de tomber sur un entier naturel pair...

Ne pas oublier que ce genre "d'expérience" est physiquement impossible, c'est forcèment un jeu de l'esprit.

Si je vous parle de cela, c'est que je pense qu'il y a une analogie possible dans le plan avec notre problème. Maintenant, de là à la faire... Je ne maitrise pas du tout ce dont je viens de vous parler, alors il n'y a surement que des absurdités... cependant, on sait jamais

Oui et non, on ne peut pas faire de probabilités combinatoires basées sur le cardinal avec des ensembles infinis, sinon, nous aurions tous autant de chance de lancer une fléchette dans le centre (bull's eye) que n'importe où ailleurs sur le mur (pour les très mauvais ).

[Elie520]

Merci Médiat, çà m'éclaire un peu mon message ce que tu dis là

[invite499b16d5]

Ainsi, si nous tirons un nombre au hasard dans , la probabilité de tomber sur un entier est strictement nulle

Bonjour,
je comprends bien d'où sort ce résultat, mais il m'interpelle quand même: car cela revient à dire qu'il n'existe aucun entier dans !!
Comment la mathématique explique-t-elle cette incohérence?

[Médiat]

Bonjour,
je comprends bien d'où sort ce résultat, mais il m'interpelle quand même: car cela revient à dire qu'il n'existe aucun entier dans !!
Comment la mathématique explique-t-elle cette incohérence?

Vous sur-interprétez un résultat ; cela veut juste dire que si on met au point un système pour tirer un réel, vous ne tirerez aucun entier dans votre vie avec un nombre fini d'essais, mais :
1) Ce système n'existe pas
2) Avec un nombre infini d'essais (non dénombrable), il n'y a aucune raison de ne pas tomber sur un entier (si jamais cela veut dire quelque chose pour une machine qui ne peut exister)