Problème de polynôme

[invite853bb110]

Bonjour à tous,

J'ai à faire un exercice dont je ne vois pas même un début de raisonnement...

L'énoncé :
Déterminez le polynôme P(x) de degré 6 sachant que :
1) Le coéficient de dans P(x) vaut 1 ;
2) Les coefficients de et de dans P(x) sont égaux ;
3) P(x) est divisible par et par ;
4) Le polynôme est divisible par
Ensuite, calculez toutes les racines de P(x)

Je ne demande pas forcément la réponse, mais j'aimerais un peu plus que quelques phrases Sinon... Je ne comprends pas toujours très bien ^^'

Merci d'avance pour votre aide!

Et, simple question très bête, mais pour laquelle j'ai un doute :
Peut-on multiplier les deux cotés d'une inéquation par un réel (positif, sans changer le sens de celle-ci donc), même si l'un de ces cotés est nul (0)?

Merci!

Cordialement,
Math
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[silk78]

Bonjour,

Je commencerais par la petite question : oui tu peux, ça revient à dire que si b est positif alors a*b est positif si a positif, et a*b est négatif si a négatif (enfin si j'ai bien compris la question).

Pour le polynôme, procédons par étapes. L'hypothèse 3) te permet déjà de donner P comme la factorisation d'un polynôme connu de degré 4 et un polynôme inconnu que l'on notera Q. A toi de voir le degré de Q.
En utilisant ce degré et l'hypothèse 1), écris Q sous forme factorisée en fonction de deux nombres a et b. Que sont a et b ? Que vaut alors P ?

Puis réinjecte cette forme dans la formule de l'hypothèse 4), simplifie tous ça. En étudiant les racines de x²-x, est-ce que tu peux trouver un des deux nombres a et b (on dira par la suite que c'est b que l'on a trouvé).

Développe la factorisation de P et utilise l'hypothèse 4 pour trouver la formule exacte de P.

Pour les racines, il y en a 5 qui sont plus qu'évidentes
Après ca dépend si tu connais la division euclidienne des polynômes ?

Voilà, bon courage.
Silk

[silk78]

Désolé pour le double post, mais en fait j'ai dit une toute petite bêtise : si jamais tu a trouvé P comme je l'ai suggéré, les 6 racines devraient être évidentes.

[invite853bb110]

Merci beaucoup Silk!

Je sais que je vais paraître idiot et probablement vexant, et j'en demande pardon par avance, mais...

Je n'ai pour ainsi pas compris grand chose à ton aide, qui me semble pourtant bien complète =(
Je n'ai jamais rencontré d'exercice de ce type au cours, mais je l'ai lu aujourd'hui dans un recueil de question d'un examen d'entrée que je dois passer dans deux semaines... :s

Si tu ne veux pas expliquer plus, ce n'est pas grave, je respecte ton choix
(Parce que je suis vraiment nul, je sais...)

Pour ce qui est de la division euclidienne des polynômes... Disons que je connais la division euclidienne classique, et que si elle est la même que celle des polynômes, alors je la connais.
Cependant, si elle diffère, je suis obligé de signaler que non, je ne la connais pas...

Cordialement,
Math

[A voir en vidéo sur Futura]

[SchliesseB]

c'est un exercice ou on te donne plusieurs renseignement sur quelque chose mais dans un ordre compliqué. En s'y prenant astucieusement on peut trouver le résultat (un peu comme certaines énigmes pour enfants (et plus grands...)).

l'ordre interressant ici c'est:

3) P(x) est divisible par x²+x+1 et par x²-x-1;

tu peux alors donner P sous une forme factorisée (cf ton cours si P divise Q alors je peux l'ecrire Q=P*R avec R un polynome, et le fait que les deux polynomes donnés sont premier entre eux)

0) P est de degré 6
ça te donne une autre indication alors et il ne te manque 3 inconnues

en jouant avec 4 et 2 et 1(1 en premier car c'est le plus simple puis 2 puis 4) tu obtiens les 3 constantes que tu as introduites

il ne reste qu'a donner les racines mais comme tu as déjà une forme factorisée par 3, c'est très facile...

Bonne chance
(ce message paraphrase celui de silk pour t'aider)