Statistique avec un paquet de billes

[invite1ba3417f]

ENONCE
Un sac avec 100.000 billes.
90.000 sont blanches
10.000 autres sont noires.

Les billes sont bien mélangées, de telle sorte que si l’on tire au hasard 1 seule bille, il y a bien 9 chances sur 10 qu’elle soit blanche ( P(X= « blanche ») = 0,9 ).

On choisi 100 billes (au hasard ). On compte le nombre de billes noires par ces billes.

Déterminer la loi de probabilité et la fonction de répartition de la variable aléatoire (discrète) qui représente le nombre de billes noires présentes dans cet échantillon

REPONSE

Je ne sais pas comment commencer cet exercice, car lorsqu'on préléve les 100 billes, on n'a plus la meme probabilité d'avoir 90% de billes blanches ??

Merci pour votre aide.
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[invitee4ef379f]

Bonjour,

ENONCE


Je ne sais pas comment commencer cet exercice, car lorsqu'on préléve les 100 billes, on n'a plus la meme probabilité d'avoir 90% de billes blanches ??

Eh bien si justement. Je pense que le fait qu'on te donne de très grands nombres doit t'inciter à considérer que les proportions de billes blanches et noires sont constantes.

A supposer que tu tires 99 billes blanches, la probabilité d'en tirer une de plus au tour suivant est de 89901/99901 = 0.89990... La proportion de billes blanches est donc toujours 90%, à peu de choses près.

De la même manière à supposer que tu tires 99 billes noires, la probabilité d'en tirer une de plus au tour suivant est de 9901/99901 = 0.0991... La proportion de billes noires est donc toujours 10%, à peu de choses près.


Finalement les probabilités que tu as calculées au départ sont à conserver pour le reste de l'exercice, et ceci est possible parce que les nombres de billes de chaque couleur au départ sont grands, et que grâce à ça l'échantillon que tu prélève n'a pas un grand impact.

Bonne continuation.

[invite51d17075]

heu , pas d'ccord avec toi plume d'oeuf!
il s'agit bien de l'équivalent d'un tirage sans remise.

par exemple
P(0) ( 0 billes noires )
P(0)=(900/1000)*(899/999)*.....*(801/901)
P(0)=(900!/1000!)*(900!/1000!)

cequ'on demande c'est bien de calculer p(n), c'est de la combinatoire pas immédiate.

[invitee4ef379f]

Oui en effet c'est un tirage sans remise, et l'exercice est solvable comme tel.

Attention cependant il n'y a pas 1000 billes dans le sac de départ, mais 100 000, avec 10% de billes noires et 90% de billes blanches!

C'est pour ca que je ne vois pas l'utilité de recalculer les proportions de billes de chaque couleur quand on extrait maximum 0.1% du lot de départ. De même je ne vois pas l'utilité de donner un exercice avec des nombres aussi grands si ce n'est pas pour pouvoir négliger certaines choses.

Mais je suis un physicien, pas un mathématicien: je minimise l'énergie à fournir

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite51d17075]

effectivement , j'avais lu mille et pas 100.000
désolé. à mon age la presbycie s'accentue.
je reviens donc à ton approche.

[invite51d17075]

re salut plume,
je remarque que notre ami moInconnu a fait son mess N1 ( parfois douteux )
et n'est pas revenu depuis , disparu qcq minutes après son post.
le pire , c'est que je me fait avoir à chaque fois.

cordialement

[invite1ba3417f]

Merci pour vos réponses !!!
Et désolé du retard, je dois travaillé pendant le week end pour payer mes études.

merci encore a tous !

[invite1ba3417f]

Pourriez vous m'aider sur la loi de probabilité svp ?

[invite1ba3417f]

Pour :
1 billes noires :33,05%
2 billes N :40,803%
3 billes noires 20,15
4 billes N : 5,18%
5 billes noires :0,76%

Est ce bon ?
Pour cela j'ai utilisé la formule suivant :
=LOI.HYPERGEOMETRIQUE (d,n,D,N)

[invite51d17075]

Pour :
1 billes noires :33,05%
2 billes N :40,803%
3 billes noires 20,15
4 billes N : 5,18%
5 billes noires :0,76%

Est ce bon ?
Pour cela j'ai utilisé la formule suivant :
=LOI.HYPERGEOMETRIQUE (d,n,D,N)

non, je ne sais pas comment tu arrives à ça.
en plus on parle de 100 boules , pas de 5.
la remarque de plume visait à dire que la proba 0.9/0.1 ne changeait pas vu le nombre très important de boules au depart.
mais il faut quand même faire un calcul.

alors commençons au debut.
on appelle N le nombre de boules tirées et k le nb de boules noires trouvées, et P(k) la proba de trouver k boules noires à la fin.

si N=1 alors simple
il y a deux possibilités :
P(0)=0,9
P(1)=0,1 et la somme vaut bien 1

si N=2 alors 3 possibilités
P(0)=0.9*0.9=0.81
P(2)=0.1*0.1=0.01
et P(1) ?
P(1)=0.9*0.1*2 =0.18
pourquoi *2 parceque ça peut être blanche et noire ou noire et blanche.
je veux t'expliquer qu'il faut faire intervenir le nombre de combinaison possible.

au final :
si N est le nombre de boules tirées et K le nb de boules noires.
P(k)=((0.1)^k)*((0.9)^(N-k)*C(n,k)
C(n,k) étant le nombre de combinaison de k boules parmi N
C(n,k)=n!/(k!*(n-k)!)

exemple tu le refais , en supposant qu'on en tire 5
P(0)=0,59049
P(1)=0,32805
P(2)=0,0729
P(3)=0,0081
P(4)=0,00045
P(5)=0,00001

on peut d'aillleurs vérifier que la somme vaut bien 1, car il n'y a que 6 possibilité , de 0 boule noire à 5 boules noires.

ps: désolé de ne pas ecrire en latex

[invite1ba3417f]

Merci pour cette réponse.
Je vais essayer de comprendre ton raisonnement et si j'ai des questions ,je les poserai.

Merci encore pour ton aide !!!

[invite1ba3417f]

Excusez moji, je n'est pas compris l'énoncé et par ce fait, vous ai induit en erreur.

L'énoncé, le voici :

Les billes sont bien mélangées, de telle sorte que si l’on tire au hasard 1 seule bille, il y a bien 9 chances sur 10 qu’elle soit blanche ( P(X= « blanche ») = 0,9 ).

On procède à un échantillonnage de 100 billes. On compte le nombre de billes noires parmi ces 100 billes.

Question 1 : Déterminer la loi de probabilité et la fonction de répartition de la variable aléatoire (discrète) qui représente le nombre de billes noires présentes dans cet échantillon de 100 billes prélevées au hasard.

Donc il s'agit bien de 100 billes, et il faut définir la probabilité qu'on tire une bille noire, 2 billes noires, 3 billes noires ainsi de suite jusque 100 billes.

Pouvez vous m'aider pour démarrer svp.

Merci encore à tous !!