Raisonnement par récurrence terminale S
Bonjour j'ai un petit problème pour mon dm.. Voilà l'énoncé :
- Il faut démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n , on a l'égalité 2^n > n
J'ai deja montrer que cetait valable pour n=0 , et après je suis bloquée .
- Ensuite il faut montrer que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à p ( que l'on determinera ), on a : 2^n > n²
et la je ne sais pas comment procéder !
Merci d'avance.
Bonjour,
Commençons par le premier. Tu cherches à faire un raisonnement par récurrence, il faut donc initialiser ta récurrence (ce que tu fais), et ensuite? Il y a une conjecture à faire, laquelle?
ton hypothèse de récurrence est 2 n > n
tu dois démontrer avec cette hypothèse que 2 n + 1 > n + 1
commence par faire apparaître 2 n : 2 n + 1 = 2 * 2 n
avec l'hypothèse de récurrence tu en déduis que 2 n + 1 > 2 n
ensuite il te reste à démontrer que si n > 0 alors 2 n > n + 1 ce qui est faisable, puis tu conclus
J'ai reussi déjà à trouver ce que vous m'avez dit, mais en fait j'arrive pas à démontrer que 2n > n+1 , pour moi c'est logique !
Est ce qu'il faut dans ce cas séparer le cas de n=0 ou pas ( puisqu'il est déjà dans l'initialisation ? )
Non, il ne faut pas se préoccuper du cas 0 puisque tu as démontré que ton hypothèse de récurrence était vérifiée pour n=0.
Pour démontrer que 2n>n+1, on fait... un raisonnement par récurrence!
Donc si j'ai bien compris, dans notre raisonnement de récurrence, on refait un raisonnement par récurrence ?
ou alors tu soustrais n de chaque coté.
Ca me semble plus simple de soustraire oui , dans ce cas on trouve que
n> 1 , il faut alors mettre n > ( ou egal à 1 ) si je ne me trompe pas ?
exact, pour, on a
après, pour n=0 et n=1, cela ne marche pas. Néanmoins, l'inégalité
Ainsi, tu peux:
faire une récurrence à partir du rang 2 et vérifié les cas n=0 et n=1 à la main.
ou alors, passer avec un "plus grand ou égal" dans ta démo.
on a dans l'hérédité:
reste à faire le cas n=0 à part.
Oui, en effet...Envoyé par SchliesseB
Vous avez l'esprit compliqué ! moi j'aurais vérifié à part que la propriété est vraie pour n = 0 puis j'aurais fait ma récurrence à partir de n = 1
arrivé à l'endroit 2n + 1 >= n + 1 j'aurais continué en disant que si
puis j'aurais conclus
Pour le cas n=0 est ce que j'ai besoin de le faire à part, parce que j'ai déjà montrer que c'était valable dans l'initiation ?
Et l'inégalité 2n > n+1 n'est pas vérifiée pour n=0
Heuu juste une remarque pas tellement hors sujet que ça , moi je suis Marocain et je suis aussi en Terminal , or il y a une inégalité que j'ai étudié l'année dernière ( officiellement car officieusement je la connaissais bien avant ) ; et qui est l'inégalité de Bernoulli , cet exercice n'est qu'une conséquence direct de cet inégalité en prenant x=1 , alors si toi aussi tu l'as étudié tu peux t'en aidé je présume ^^ . Amicalement
Bonjou.
J'ai un DM à rendre pour demain et je bloque sur une question.
L'énoncé:F(x)=3x+2/x+4
Uo=0 Un+1=f(Un)
Etablir la relation Un+1-Un=(1-Un)(Un+2) /Un+4
J'ai éssayé de retourner la situation dnas tous les sens mais pas moyens de retomber sur (1-Un)(Un+2)/Un+4
En premier lieu, je ne suis meme pas sur de mon Un=3Un+1/Un+3
Merci de votre aide.
