continuité derivation

[invite96e0f8f4]

Bonjour, enfaite j'ai l'impression de ne rien comprendre à la notion de continuité... La continuité ne s'observe que graphiquement ? Elle s'étend au domaine de la fonction?

Par exemple, soit (a,b) de R, f(x)=2x^3+4x+a si x<=0 et f(x)=ae^bx sinon.

1) Etudier la continuité de f sur R
2) Etudier la dérivabilité de f sur R

Pour le 1), je dirais que la première partie de f est un polynome donc continue sur R, ensuite pour la deuxième partie je calcule la limite de f(x) quand x tend vers 0 ? et je peux conclure que celle-ci est continue si elle est égale à f(0) ?

Pour le 2) j'applique la formule pour calculer la dérivation en fonction du taux d'accroissement ??

merci beaucoup!!
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[invitee4ef379f]

Bonjour,

Il est vrai que la notion de continuité est difficile à appréhender, même si on la comprend intuitivement. Il existe une définition mathématique très précise à la continuité, très vite abordée en première année dans le supérieur, mais que l'on mettrait trop de temps à expliquer concrètement au lycée.

Je la traduirais comme suit: soient deux réels x₁ et x₂, soit une fonction f définie sur un intervalle I contenant x₁ et x₂. Alors plus on réduit l'écart entre x₁ et x₂, plus l'écart entre f(x₁) et f(x₂) se réduit lui aussi.

Autrement dit: en prenant x₁ et x₂ de plus en plus proches, on voit f(x₁) et f(x₂) se rapprocher eux aussi.


Pour en revenir à ton exercice, tu peux justifier de la continuité de chaque membre de ta fonction en disant qu'ils sont composés de fonction continues (ceci est une propriété de la continuité). Par contre il faut justifier de manière plus précise la (dis?)continuité de la fonction en x=0. As tu une idée de comment?

De même pour la dérivabilité: ce ne sont pas les deux membres dont ta fonction est composée qui posent problème, mais plutôt le cas x=0. Il y a une clause dans ton cours qui permet de justifier si oui ou non une fonction est dérivable en un point.


Dernière chose: une fonction dérivable est nécessairement continue, l'inverse n'étant pas vrai. Autrement dit il est très aisé de justifier la continuité d'une fonction en avançant comme argument que celle ci est dérivable. Bien sûr pour un exo comme celui que tu as à faire cela ne fonctionne pas puisque les questions te sont posées dans un ordre bien précis

Bon courage!