Dm Maths Terminale S

[invite598f3932]

Salut à tous!

J'ai eu de vrai problèmes avec ce Dm de mathématique. Plusieurs jours se sont écoulés depuis que j'essai de le faire mais peu de résultats et c'est à rendre dans 2 jours! Je vous expose mes problèmes et j'espère que vous pourrez m'aider


Exercice 1:
Soit:
S_n= 1³ + 2³ + ... + n³ pour tout n de N^*.
I_n= 1³ + 3³ + ... + (2n - 1)³ pour tout n de N^*.

Dans la première question j'ai prouvé par récurrence que S_n = (n²(n + 1)²)/4 et déduit que 1³ +2³ + ... + N³ = (1 + 2 + ... + n)²

A présent, il me faut montrer que pour tout n de N*, In = 2n⁴ - n² (Sans utiliser la récurrence) puis montrer qu'il existe un seul entier naturel n tel que I_n = 29 161.
Je n'y arrive vraiment pas...

Exercice 2:
Soit "Téta" compris dans l'intervalle ]0 ; Pi/2[.
(U_n) est la suite définie sur N par U_o = 2 cos("Téta") et pour tout entier n compris dans l'intervalle N, U_n+1 = "Racine de"(2 + U_n).

1. Calculer U₁, U₂: Comment faire? Car on trouve U₁ = "Racine de"(2 + 2 cos("Téta")) et donc je suis bien embeté^^
2. Démontrer par récurrence que pour tout entier n de N, U_n = 2 cos ("Téta" / 2ⁿ)

Dernier Exo:
Soit (Vn) définie sur N par : V_n = an + b avec a et b réels.
Déterminer les réels a et b tels que pour tout n compris dans N, V_n+1 = (1/3)V_n + n - 2.

Il faut résoudre ceci par un système. J'ai trouvé que (1/3) (an+b) + n - 2 = an + b mais je rate toujours par la suite.

Je pense pouvoir faire les autres tout seul, alors si vous pouvez m'aider à résoudre cela, je serais vraiment très content
-----

[invitef707e9ad]

Je t'aide déjà pour la question 1.
In est la somme des cubes des inverses de 1 a 2n-1.
C'est donc égale a la somme des cubes des entiers de 1 a 2n moins la somme des cubes des entiers pairs de 1 a 2n.
Sachant que la somme des entiers pairs de 1 a 2n est égale a 2^3 la somme des cubes des entiers de 1 a n
traduction: on a 2^3 + 4^3 + 6^3 +...+(2n)^3= 2^3 ( 1^3+2^3+3^3+...+n^3)

[invite7faacbf0]

Bonsoir :

Sn=1^3 +2^3 + ... + N^3 = (1 + 2 + ... + n)2
In = S2n - 2^3(1^3+2^3+3^3....+n^3)
In=S2n -2^3S(n)
Maintenant à toi de continuer en utilisant le précédent résultats et la somme d'une suite arithmétique ^^

Pour la seconde question question il te faut transformer l'addition en multiplication en passant par les formules de calcul trigonométrique ^^


Dernier exo t'as faits une petite faute , c'est an+a+b = 1/3 ( an+b) + n -2

[invitef707e9ad]

Et pour la 2ème question du 1.
Il faut résoudre un trinôme:2n^4-n^2-29161=0 ou On pose N=n^2

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite598f3932]

Ah oui, je vois.

Merci beaucoup pour vos réponses ! Je vais essayer de finir l'exo 1.

En revanche quelqu'un peut me lancer sur la voie pour l'exo 2? C'est le plus difficile à mes yeux^^

[invite598f3932]

Rectification: J'y arrives pas du tout !

Pour l'exercice 1, je trouve donc que
In = S_2n - 2³ * S_n
In = S_2n - 2³ * (1 + 2 + ... + n)²

Suis-je sencé utiliser le fait que (1 + 2 + ... + n)² = ((n(n+1))/2)² ??

Je n'arrives à rien de cohérent... Vous pouvez m'aider?
Par quoi suis-je sencé remplacer S_2n ??

[invite7faacbf0]

Oui c'est ce que tu doit faire , remplacer S2n par ((2n(2n+1))/2)²
et aussi (1 + 2 + ... + n)² par ((n(n+1))/2)² ainsi le résultats s'en suit

[invite598f3932]

J'ai réussit Merci beaucoup beaucoup :d