Enoncé : Soit C un demi cercle de centre O, de rayon 1 et d'extrémités I et K. Pour tout point M du demi cercle C, on note H le projeté orthogonal de M sur (IK) et A l'air du triangle IHM. Le but du problème est d'étudier l'aire A suivant la position du point M.
A. Avec des coordonnées
On considère le repère orthonormal (O;OI; OJ), où J est le point d'intersection de la médiatrice de [IK] avec le demi cercle C.
On note x l'abscisse du point M et on pose A=f(x)
1) Déterminer l'expression de f(x) en fonction de x
Je trouve : f(x)= (IH x HM) / 2 ===> f(x)= ( (1-x)*(√(1-x²) ) / 2
2)Soit g la fonction définie sur [-1;1] par g(x)=(1-x)^3(1+x)
a) dresser le tableau des variations de la fonction g
b) en déduire le tableau des variations de la fonction f.
3) a) Pour quelle position du point M, l'aire A est-elle maximale ? Quelle est la valeur de ce maximum ?
b) Délontrer qu'il existe une position M0 de M, différente de J, telle que l'aire A soit égale à celle du triangle OIJ. On donnera un encadrement d'amplitude 10^-2 de l'abscisse x0 de M0.
B.Avec un angle
On designe par α (alpha) la mesure en radian de l'angle IOM
1) Démontrer que A=1/4 (2sinα-sin2α)
2) soit h la fonction définie sur [0;π(pi)] par : h(t) = 2sin t - sin2t
a) démontrer que, pour tout réel t dans [O;π], on a : h'(t) = 2(1-cos t )(1+2cos t)
b) en déduire le tableau des variations de la fonction h.
3)Retrouver les resultats de la question A.3 , en utilisant la fonction h.
Merci d'avance de bien vouloir m'aider
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Envoyé par Hitman60600 