[TS] Exercice suites

[inviteb4ebd1a1]

Bonjour à tous,

J'ai un exercice de maths à faire sur les suites mais je ne comprend pas tout.

L'énoncé

Exercice 1 Stabilisation d'une population

Dans une réserve, on a constaté une diminution annuelle constante de 10% de l'effectif des éléphants. Afin de sauvegarder l'espèce on décide d'introduire chaque année dans la réserve un nombre fixe N de ces pachydermes.

1) a) Résoudre l' équation 0,9 x + N = x d'inconnue x.
b) Choisir N de telle façon que la solution précédente soit égale à 500.
c) Interpréter les résultats obtenus.

2) N a désormais la valeur trouvée en 1b). On note p(n) le nombre d”éléphants après n années de l'application du plan de sauvegarde et on prendra p(0) = 1000.
a) Expliquer pourquoi, pour tout entier n, p(n+1) = 0,9 p(n) + 50.
b) Dans un repère orthonormal (unité : 1 cm pour 100 ) tracer les droites d'équations
y=0,9x+50 et y=x.
En utilisant ces droites, construire sur l'axe des abscisses les points A0, A1, A2, A3 et A4 d'abscisses respectives po , p1 , p2, p3 et p4 . puis calculer ces abscisses.
c) On admettra que pour tout n , pn > 500 , c'est à dire que la suite (pn) est minorée par 500. Démontrer que la suite (pn) est décroissante.

d) Soit (vn) la suite de terme général : vn= pn - 500. Montrer que cette suite est géométrique.

e) Donner l'expression de vn puis celle de pn en fonction de l'entier n. En déduire la limite de la suite (pu).
L'objectif du plan est-il atteint ?


J'ai trouvé les réponses suivantes

1/a/ x = 10N
1/b/ N=50
c/ J'ai justifié.

2/a/ j'ai justifié.
b/ j'ai trouvé
p0= 1000
p1 = 950
p2 = 905
p3=864
p4= 828
vérifié par calcul.

c/ Là j'ai pas trouvé, mon prof n'as pas tellement insisté sur les minorants en 1°S, je ne sais pas comment m'y prendre. J'ai bien vu graphiquement que plus les années passent moins la population est importante, mais celà n'est pas une justification. Dois-je montrer que la suite est géométrique ou arithmétique? Si oui comment puis-je faire?

d/ j'ai v(n) = 0.9 p(n-1) - 450 mais je ne sais pas quoi en faire

e/ ...


Merci de prendre le temps de me répondre.
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[leodark]

Ba pour la c), minorée par 500 veut dire pn > 500 ^^
Donc ensuite demandes toi combien fait au minimum 0.1 pn et grâce à la formule p(n+1) = 0,9 p(n) + 50, tu verras bien si p(n+1) peut être supérieur à p(n).

Pour la d) cherche la raison de v(n) avec v(n+1)/v(n).

[inviteb4ebd1a1]

Je ne comprends pas ce que tu veux dire ..

[leodark]

p(n) > 500 donc 0.1p(n) > 50
donc p(n)- p(n+1) = p(n) - (0.9 p(n) + 50) =0.1 p(n)-50
0.1 p(n) -50 >0
Donc p(n)>p(n+1)
La suite p est décroissante.

d) v(n+1) / v(n) = 0.9 p(n) - 450 / (p(n) -500) = 0.9
Suite de raison 0.9.

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteb4ebd1a1]

Ah ok j'ai compris, je voyais pas pourquoi on s'occupait de 0.1p(n).

Merci beaucoup