DM complexe

[invitebaa3c59c]

Bonsoir à tous

J'ai une question dans un DM de maths à laquelle j'ai un peu de mal.
J'ai vu que le sujet avait déjà été abordé sur le forum, mais je n'ai pas trouvé ce que je n'arrive pas à comprendre.

On note A et B les points d'affixe respectives -i et 3i. On note f l'application qui, à tout point M du plan, d'affixe z, distinct de A, associe le point M' d'affixe z' telle que: z'=(iz+3)/(z+i)

1)a) Démontrer que f admet deux points invariants J et K appartenant au cercle de diamètre [AB].

Donc j'ai commencé par calculer :
f(z) = z
z' = z
z = √3 ou z = -√3

Ensuite j'ai déterminé le centre du cercle de diamètre [AB] : I d'affixe i
Mais maintenant, comment démontrer que K et J appartiennent au cercle ?

J'espère recevoir votre aide.
Merci d'avance !

Co'
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[invite01cfb4e2]

J'ai utilisé la formule d'équation de droite, qui me donne :
(√3-0)²+(0-1)²= 4

pensez vous que c'est suffisant comme démonstration ?

[invitef707e9ad]

Bonjour,
il faut écrire l'équation du cercle( celle de cover70 me parait exacte), et ensuite prouvé que les solutions appartiennent a ce cercle en remplaçant x et y par leurs coordonnées

[invitebaa3c59c]

Ok merci.
Pour la question b) , j'ai trouvé ceci :

b) On note C le point d'affixe c=-2+i. Démontrer que le point C', image de C par f, appartien à l'axe des abscisses.

f(C)=(i(-2+i)+3)/(-2+i+i)
Après avoir développé, j'ai multiplié chaque membre par le conjugué du dénominateur, pour trouver f(C)=-1
Puis j'i conclue comme ça : f(C) est un réel car Im(f(C) = 0 donc c' appartient à l'axe des abscisses.


Est-ce bon ? Merci encore

[A voir en vidéo sur Futura]