DM TS Spé maths - Suites

[invite598f3932]

Salut^^

Quelqu'un peut m'aider pour cette exo de suite pour mon DM ?

(U_n) définie sur N par : U_n = 3²ⁿ⁺¹ + 2ⁿ⁺²

1) (Déjà fait) Calculer les 6 premiers termes de la suite et vérifier qu'ils sont multiples de 7.

2) Démontrer que, pour tout entier naturel n, U_n+1 = 2U_n + 7 * 3²ⁿ⁺¹

3) Démontrer que pour tout n e N, U_n est divisible par 7.

Merci d'avoir lus!
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[Seirios]

Bonjour,

2) Démontrer que, pour tout entier naturel n, U_n+1 = 2U_n + 7 * 3²ⁿ⁺¹

Essaie d'écrire explicitement , puis de faire apparaître dans l'expression en utilisant que 9=7+2

3) Démontrer que pour tout n e N, U_n est divisible par 7.

Récurrence immédiate avec le résultat précédent.

[invite598f3932]

Je vais essayer mais vous pouvez pas etre un peu plus clair ?

[Seirios]

J'essaie de ne pas trop te guider, pour que tu parviennes à la solution sans trop d'aide extérieure, donc il vaut mieux que tu essaies de faire quelque chose avec les indications que je t'ai données, et que tu mettes ce que tu as essayé de faire si tu n'y arrive pas.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite598f3932]

Ok merci de m'aider bien que je ne trouve rien de convaincant.

Voilà où je me bloque^^

U_n = 3²ⁿ⁺¹ + 2ⁿ⁺²
<=> U_n+1 = 3^2(n+1)+1 + 2^(n+1)+2
<=> U_n+1 = 3²ⁿ⁺²⁺¹ + 2ⁿ⁺¹⁺²
<=> U_n+1 = 3²ⁿ⁺¹ * 3² + 2^{n +2} * 2

Et puis je ne sais pas quoi faire ...

[invite598f3932]

J'suis vraiment bloqué personne peut m'aider?

[Seirios]

U_n = 3²ⁿ⁺¹ + 2ⁿ⁺²
<=> U_n+1 = 3^2(n+1)+1 + 2^(n+1)+2
<=> U_n+1 = 3²ⁿ⁺²⁺¹ + 2ⁿ⁺¹⁺²
<=> U_n+1 = 3²ⁿ⁺¹ * 3² + 2^{n +2} * 2

Tu y es presque, il suffit simplement de remarque que 9=2+7 : , et tu n'as plus qu'à factoriser.

[invite598f3932]

J'ai réussis

U_n = 3²ⁿ⁺¹ + 2ⁿ⁺²
<=> U_n+1 = 3^2(n+1)+1 + 2^(n+1)+2
<=> U_n+1 = 3²ⁿ⁺²⁺¹ + 2ⁿ⁺¹⁺²
<=> U_n+1 = 3²ⁿ⁺¹ * 3² + 2^{n +2} * 2

La suite

<=> U_n+1 = (7 + 2)3²ⁿ⁺¹ + 2^{n +2} * 2
<=> U_n+1 = 7 * 3²ⁿ⁺¹ + 2 * 3²ⁿ⁺¹ + 2^{n +2} * 2
<=> U_n+1 = 2( 3²ⁿ⁺¹ + 2^{n +2}) + 7 * 3²ⁿ⁺¹
<=> U_n+1 = 2Uⁿ + 7 * 3²ⁿ⁺¹

Hourraaa Mercii !

Je fais la suite tout seul