[DM] Probleme polynome degre 4

[invite83d9238f]

Bonjour, je suis en term S et j'ai un DM à faire pour mardi prochain.
Je bloque sur cette question: Soit P(x)=x⁴+x³+x²+x+1
alpha une racine de P; determiner alpha⁵ et le (conjugué de alpha)⁵

J'ai déjà trouver les réponse (c'est dans tous les cas -1) mais je n'arrive pas à les trouver de façon simple sans utiliser les polynome symetrique.
J'attends votre aide, merci
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[Jon83]

Bonjour!
Je doute que -1 soit une racine du polynôme que tu nous donne....
Comment l'as-tu trouvée?

[invitee3b6517d]

Bonjour,

La réponse ne peut pas être car on te demande de calculer le conjugué donc tes réponses sont sous forme complexe

[invite83d9238f]

J'ai trouvé alpha⁵=-1 et non pas alpha =-1
J'ai utilisé le fait que c'est un polynome symetrique (forme P(x) = Ax⁴+Bx³+Cx²+Bx+A) en effectuant un changement de variable X=x+x^-1
Mais notre prof nous a dit que la solution devait être trouvé plus facilement sans avoir à utiliser les polynomes symetriques
J'ai aussi un autre probleme, lorsque avec ma casio je calcule P(alpha) avec un des alpha complexe que j'ai trouvé, ça ne fait pas zero

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite83d9238f]

Je viens de me rendre compte que j'ai fais une petite erreur de calcul: les resultats alpha⁵ sont egaux à 1 et pas à -1
Mais j'ai néanmoins besoin d'une petite indication sur le fait de comment arriver à ce résultat sans avoir recours aux polynomes symetrique. Merci

[invite00970985]

Salut Silvershawk !

As tu pensé à ton polynôme comme la somme de termes d'une suite géométrique ?

(c'est subtil comme astuce, j'avais oublié !)

Bon courage,
Seb

[invite83d9238f]

qu'entends tu exactement par somme d'une suite geometique, est ce que ça marchera même avec des nombres complexes? sinon d'autres idées? merci

[Jon83]

J'ai trouvé alpha⁵=-1 et non pas alpha =-1
J'ai utilisé le fait que c'est un polynome symetrique (forme P(x) = Ax⁴+Bx³+Cx²+Bx+A) en effectuant un changement de variable X=x+x^-1
Mais notre prof nous a dit que la solution devait être trouvé plus facilement sans avoir à utiliser les polynomes symetriques
J'ai aussi un autre probleme, lorsque avec ma casio je calcule P(alpha) avec un des alpha complexe que j'ai trouvé, ça ne fait pas zero

Bonjour!
Le polynôme peut s'écrire
Ses racines sont donc les racines 5ème de l'unité exceptée la valeur 1

[invite00970985]

qu'entends tu exactement par somme d'une suite geometique, est ce que ça marchera même avec des nombres complexes? sinon d'autres idées? merci

somme des termes d'une suite géométrique : 1+q+q²+...+q^n= ??

Et oui, ça marche même avec des nombres complexes, la démonstration est purement algébrique et ne dépend pas du "type" de nombres employés.

[invite83d9238f]

Quelle idée ingénieuse! Merci beaucoup de me l'avoir montrée, je viens de terminer mon DM grâce à vous. Merci encore