polynome de degre 3

[invitef5b19307]

salut a tous.je sis en premiere s . J'ai un dm de math a rendre pour lundi mais je n'ai pas compris un exercice.J'aurais donc besoin de votre aide.voici l'énoncé:nous allons démontrer que si un polynome de degre 3 admet le nombre αlpha comme racine alors il est factorisable par (x-a) .
soit p(x)=ax^3+bx^2+cx+d est un polynome de degre 3 qui admet le nombre alpha comme racine
1.demontrer que pour tout x reel p(x)=a(x^3-alpha^3)+b(x^2-alpha^2)+c(x-alpha)
2.determiner en fonction de alpha les coefficients du polynome de
second degre R tel que pour tout x reel,(x^3-alpha^3)=(x-alpha)R(x)
3.deduire du 1 et du 2 la factorisation de p(x) c a d son ecriture sous la forme P(x)=(x-alpha)Q(x) ou q(x) est un polynome de second degre.
Preciser la valeur de a b c et de alpha de chacun des coefficients du polynome Q.
4.Tester ce resultat sur trois polynomes du troisieme degré que vous aurez créés vous-même en choissisant des valeurs simples pour alpha.merci d'avance
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[Guillaume69]

Bonjour,

Deux polynômes sont égaux ssi leurs "coefficients" sont égaux.

Exemple : les polynômes P et Q définis par P(x) = ax^2+bx^c et Q(x)= Ax^2+Bx+C.
P et Q sont égaux ssi pour tout x, a = A, b=B, c=C.

Dans ta première question, c'est cette équivalence que tu dois utiliser.

[invitef5b19307]

je ais ce que tu viens de me dire mais ca ne m'aide pas a repondre a mon exercice

[danyvio]

je ais ce que tu viens de me dire mais ca ne m'aide pas a repondre a mon exercice

Si tu te réponds à la question suivante, tu auras bien avancé :

Que signifie : alpha est racine de p(x) ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitef5b19307]

ca veut dire que p(alpha)=0

[invitef5b19307]

mais ca ne mavanca pas

[invitefa784071]

si tu ça (c'est ce que tu as ecris) : a(x^3-α^3 )+b(x^2-α^2 )+c(x-α)
alors tu peux factoriser par (x-α) et donc tu obtiens p(x)=0 pour tout x ce qui parait absurde sur ton exercie

[danyvio]

Je vais te mettre un peu sur la voie :
Si a est racine, alors p(a)=0, et donc p(x)-p(a) = p(x)
Mais je ne t'ai pas encore vu écrire clairement ce que signifie, en terme d'équation, que a est racine....